Номер 13.12, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

13.12 $y = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } x < 0; \\ 2x^2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Построение графика

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из двух частей, в зависимости от знака $x$.

1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = x^{-2}$, что эквивалентно $y = \frac{1}{x^2}$.
График этой функции — это ветвь кривой, расположенная во второй координатной четверти. Ось $y$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при стремлении $x$ к нулю слева ($x \to 0^-$) значение $y$ стремится к бесконечности ($y \to +\infty$). Ось $x$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при стремлении $x$ к минус бесконечности ($x \to -\infty$) значение $y$ стремится к нулю. Для построения найдем координаты нескольких точек:

• при $x=-2$, $y = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0.25$
• при $x=-1$, $y = \frac{1}{(-1)^2} = 1$
• при $x=-0.5$, $y = \frac{1}{(-0.5)^2} = \frac{1}{0.25} = 4$

2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$.
График этой функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Вершина параболы находится в точке $(0,0)$. Для построения найдем координаты нескольких точек:

• при $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 = 0$ (точка принадлежит графику)
• при $x=0.5$, $y = 2 \cdot (0.5)^2 = 0.5$
• при $x=1$, $y = 2 \cdot 1^2 = 2$
• при $x=2$, $y = 2 \cdot 2^2 = 8$

Объединив эти две части на одной координатной плоскости, получим искомый график функции.

Свойства функции (чтение графика)

1. Область определения функции

   Функция определена для всех действительных значений $x$, так как для $x<0$ используется формула $y=x^{-2}$, а для $x \ge 0$ — формула $y=2x^2$.
   Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений функции

   При $x<0$, $y=1/x^2 > 0$. При $x \ge 0$, $y=2x^2 \ge 0$. Объединяя значения с обоих промежутков, получаем, что функция принимает все неотрицательные значения.
   Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции

   Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$.
   Если $x<0$, то $y=1/x^2$ никогда не равно нулю.
   Если $x \ge 0$, то $2x^2 = 0$ при $x=0$.
   Ответ: $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства

   Найдем промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.
   $y>0$: при $x<0$ функция $y=1/x^2$ всегда положительна; при $x>0$ функция $y=2x^2$ также положительна. Таким образом, $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
   $y<0$: таких промежутков нет, так как обе части функции ($1/x^2$ и $2x^2$) принимают только неотрицательные значения.
   Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; нет промежутков, где $y<0$.

5. Промежутки монотонности

   При $x<0$ производная $y'=(x^{-2})' = -2x^{-3} = -2/x^3$. Так как $x<0$, то $x^3<0$, следовательно $y'>0$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$.
   При $x>0$ производная $y'=(2x^2)' = 4x$. Так как $x>0$, $y'>0$. Функция возрастает на $(0; +\infty)$. Так как функция непрерывна в точке $x=0$ справа ($y(0)=0$), то она возрастает на всем промежутке $[0; +\infty)$.
   Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$. Промежутков убывания нет.

6. Точки экстремума

   В точке $x=0$ значение функции $y(0)=0$. Для любого $x \neq 0$ из области определения $y(x) > 0$. Следовательно, $x=0$ является точкой глобального минимума.
   Точек максимума у функции нет.
   Ответ: $x_{min}=0$, $y_{min}=0$.

7. Четность и нечетность

   Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля. Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$. Возьмем, например, $x=1$ и $x=-1$.
   $y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.
   $y(-1) = (-1)^{-2} = 1$.
   Так как $y(-1) \neq y(1)$ и $y(-1) \neq -y(1)$, функция не является ни четной, ни нечетной.
   Ответ: функция общего вида.

8. Непрерывность и точки разрыва

   На промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ функция непрерывна как элементарная. Исследуем точку $x=0$.
   Значение функции в точке: $y(0) = 0$.
   Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$.
   Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x^2 = 0$.
   Так как левосторонний предел равен бесконечности и не равен значению функции в точке, функция имеет разрыв в точке $x=0$. Это разрыв второго рода.
   Ответ: функция непрерывна на $(-\infty; 0) \cup [0; +\infty)$. В точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода.

9. Асимптоты

   Вертикальная асимптота: так как $\lim_{x \to 0^-} y(x) = +\infty$, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
   Горизонтальная асимптота: так как $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2} = 0$, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} 2x^2 = +\infty$, поэтому горизонтальной асимптоты справа нет.
   Наклонных асимптот нет.
   Ответ: $x=0$ — вертикальная асимптота (при $x \to 0^-$); $y=0$ — горизонтальная асимптота (при $x \to -\infty$).