Номер 13.17, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.17 Пусть $P$ — наибольшее значение функции $y = \frac{1}{(x + 2)^5} - 1$ на отрезке $[-1; 1]$, а $Q$ — наименьшее значение функции $y = x^8$ на отрезке $[-1; 1]$. Что больше: $P$ или $Q$? Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение P

Требуется найти наибольшее значение $P$ функции $y = \frac{1}{(x+2)^5} - 1$ на отрезке $[-1; 1]$.

Для нахождения наибольшего значения функции на замкнутом интервале необходимо вычислить значения функции на концах интервала и в критических точках, принадлежащих этому интервалу, а затем выбрать наибольшее из них.

1. Найдем производную функции: $y'(x) = \left( (x+2)^{-5} - 1 \right)' = -5(x+2)^{-6} \cdot (x+2)' = -\frac{5}{(x+2)^6}$.

2. Найдем критические точки. Производная не обращается в ноль, так как числитель $-5 \neq 0$. Производная не определена при $x = -2$, но эта точка не входит в отрезок $[-1; 1]$.

3. Проанализируем знак производной на отрезке $[-1; 1]$. Для любого $x$ из этого отрезка выражение $x+2$ положительно, значит, и $(x+2)^6$ положительно. Следовательно, производная $y'(x) = -\frac{5}{(x+2)^6}$ всегда отрицательна на отрезке $[-1; 1]$.

Это означает, что функция $y(x)$ монотонно убывает на всем отрезке $[-1; 1]$.

4. Для монотонно убывающей функции наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, то есть при $x = -1$.

Вычислим значение функции в этой точке: $P = y(-1) = \frac{1}{(-1+2)^5} - 1 = \frac{1}{1^5} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Ответ: $P = 0$.

Нахождение Q

Требуется найти наименьшее значение $Q$ функции $y = x^8$ на отрезке $[-1; 1]$.

Функция $y(x) = x^8$ — это степенная функция с четным показателем степени. Ее график симметричен относительно оси ординат, и значения функции всегда неотрицательны ($y \ge 0$).

Наименьшее значение достигается при $x = 0$, так как $y(0) = 0^8 = 0$. Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Проверим также значения на концах отрезка: $y(-1) = (-1)^8 = 1$.
$y(1) = 1^8 = 1$.
Сравнивая значения $\{1, 0, 1\}$, видим, что наименьшее из них равно 0.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 0.

Ответ: $Q = 0$.

Сравнение P и Q и графическая иллюстрация

Мы получили, что наибольшее значение функции $y = \frac{1}{(x+2)^5} - 1$ на отрезке $[-1; 1]$ равно $P = 0$, а наименьшее значение функции $y = x^8$ на том же отрезке равно $Q = 0$.

Следовательно, $P = Q$.

Ответ: $P = Q$.

На графике ниже синим цветом показан график функции $y = x^8$, а красным — график функции $y = \frac{1}{(x+2)^5} - 1$ на отрезке $[-1; 1]$.

Точка $P$ — это максимум красного графика на отрезке, она находится в точке $(-1, 0)$.
Точка $Q$ — это минимум синего графика на отрезке, она находится в точке $(0, 0)$.
Как видно из графика, оба значения $P$ и $Q$ равны 0.