Номер 13.13, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.13 $y = \begin{cases} |x|, \text{если } x \le 1; \\ x^{-3}, \text{если } x > 1. \end{cases}$

Проведем полное исследование данной кусочно-заданной функции.

Функция задана как $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x \le 1 \\ x^{-3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

Область определения

Для $x \le 1$ функция $y=|x|$ определена для всех действительных $x$.

Для $x > 1$ функция $y=x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ определена для всех $x \neq 0$, что выполняется на данном интервале.

Таким образом, область определения функции — это объединение интервалов $(-\infty, 1]$ и $(1, \infty)$, то есть все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):

Поскольку $0 \le 1$, используем первую часть определения функции: $y(0) = |0| = 0$.

Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, 0)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):

Если $x \le 1$, то $|x|=0$, откуда $x=0$.

Если $x > 1$, то $x^{-3}=0$ или $\frac{1}{x^3}=0$, что не имеет решений.

Единственная точка пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$.

Ответ: График пересекает оси координат в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Четность и периодичность

Для проверки на четность/нечетность сравним $y(x)$ и $y(-x)$. Возьмем, например, $x=2$.

$y(2) = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.

$y(-2) = |-2| = 2$.

Поскольку $y(-2) \neq y(2)$ и $y(-2) \neq -y(2)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Функция не является периодической, так как ее поведение на разных участках оси $x$ различно.

Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

Непрерывность

На интервале $(-\infty, 1)$ функция $y=|x|$ непрерывна.

На интервале $(1, \infty)$ функция $y=x^{-3}$ непрерывна.

Исследуем непрерывность в точке "стыка" $x=1$:

Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} |x| = 1$.

Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} x^{-3} = 1^{-3} = 1$.

Значение функции в точке: $y(1) = |1| = 1$.

Так как односторонние пределы равны значению функции в точке, функция непрерывна в точке $x=1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

Асимптоты

Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция непрерывна на всей области определения.

Горизонтальные асимптоты:

При $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} x^{-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^3} = 0$.

Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.

При $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} |x| = +\infty$.

Горизонтальной асимптоты при $x \to -\infty$ нет.

Наклонные асимптоты:

Ищем асимптоту вида $y=kx+b$ при $x \to -\infty$.

$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} = -1$.

$b = \lim_{x \to -\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to -\infty} (|x| - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} (-x+x) = 0$.

Следовательно, $y=-x$ — наклонная асимптота при $x \to -\infty$.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$. Наклонная асимптота $y=-x$ при $x \to -\infty$.

Промежутки монотонности и экстремумы

Найдем производную функции. Удобно раскрыть модуль:

$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ x^{-3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Тогда производная $y'$ равна:

$y' = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ -3x^{-4}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Производная не существует в точках $x=0$ и $x=1$ (в этих точках левая и правая производные не равны), поэтому это критические точки. В других точках производная в ноль не обращается.

Определим знаки производной на интервалах:

При $x \in (-\infty, 0)$: $y' = -1 < 0$, функция убывает.

При $x \in (0, 1)$: $y' = 1 > 0$, функция возрастает.

При $x \in (1, \infty)$: $y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 1$.

Ответ: Функция возрастает на $[0; 1]$ и убывает на $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума $(0; 0)$, точка максимума $(1; 1)$.

Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y'' = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } 0 < x < 1 \\ 12x^{-5}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Анализируем знак второй производной:

На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$ вторая производная равна нулю, что соответствует прямолинейным участкам графика.

На интервале $(1, \infty)$ вторая производная $y'' = \frac{12}{x^5} > 0$, следовательно, на этом промежутке график функции выпуклый вниз (вогнутый).

Точек, в которых вторая производная меняет знак, нет. Точки $x=0$ и $x=1$ являются точками излома графика, а не точками перегиба.

Ответ: График выпуклый вниз на $(1; +\infty)$. На $(-\infty; 1)$ график состоит из двух прямолинейных участков. Точек перегиба нет.

Построение графика

Основываясь на проведенном исследовании, можно построить график функции:

1. Для $x \le 0$ строим луч $y=-x$, исходящий из точки $(0,0)$. Он совпадает со своей наклонной асимптотой.

2. Для $0 \le x \le 1$ строим отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(0,0)$ и $(1,1)$.

3. Для $x > 1$ строим кривую $y=1/x^3$, которая начинается в точке $(1,1)$ и асимптотически приближается к оси $Ox$ (своей горизонтальной асимптоте) при $x \to +\infty$. Этот участок является выпуклым вниз. Например, проходит через точку $(2, 1/8)$.

График имеет точки излома в $(0,0)$ (локальный минимум) и $(1,1)$ (локальный максимум).