Номер 13.10, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.10 Решите графически уравнение:

а) $x^{-5} = x$;

б) $\frac{1}{x^4} = x^2$;

В) $\frac{1}{x^7} = x$;

Г) $x^{-4} = \sqrt{x}$.

а) Чтобы решить уравнение $x^{-5} = x$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = x^{-5}$ и $y = x$ и найти абсциссы их точек пересечения.

Функция $y = x^{-5}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^5}$. Это степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Функция $y = x$ — это линейная функция, её график — прямая, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Эта прямая также проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

При построении графиков видно, что они пересекаются в двух точках с координатами $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) Для графического решения уравнения $\frac{1}{x^4} = x^2$ построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x^4}$ и $y = x^2$.

Функция $y = \frac{1}{x^4}$ или $y = x^{-4}$ — это степенная функция с четным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и II координатных четвертях, так как $x^4 > 0$ при любом $x \neq 0$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY) и проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Парабола также симметрична относительно оси OY и проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Графики обеих функций пересекаются в двух точках: $(1; 1)$ и $(-1; 1)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

в) Решим уравнение $\frac{1}{x^7} = x$ графическим методом. Для этого построим графики функций $y = \frac{1}{x^7}$ и $y = x$.

Функция $y = \frac{1}{x^7}$ (или $y = x^{-7}$) — степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Её график, как и у функции из пункта а), является гиперболой с ветвями в I и III четвертях, симметричной относительно начала координат. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Функция $y = x$ — это прямая, биссектриса I и III координатных четвертей, проходящая через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Очевидно, что графики пересекаются в точках $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Следовательно, решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

г) Чтобы решить уравнение $x^{-4} = \sqrt{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{-4}$ и $y = \sqrt{x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для функции $y = x^{-4}$ (или $y = \frac{1}{x^4}$) $x \neq 0$. Для функции $y = \sqrt{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$. Объединяя эти условия, получаем, что решение нужно искать при $x > 0$. Таким образом, нас интересует пересечение графиков только в I координатной четверти.

График функции $y = x^{-4}$ в I четверти — это ветвь кривой, проходящая через точку $(1; 1)$. Функция убывает на всей области определения $x > 0$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точку $(1; 1)$. Функция возрастает на всей своей области определения $x \ge 0$.

Поскольку одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает на интервале $(0; +\infty)$, они могут пересечься не более одного раза. Мы видим, что оба графика проходят через точку $(1; 1)$, которая и является их единственной точкой пересечения.

Абсцисса этой точки — единственное решение уравнения.

Ответ: $x = 1$.