Номер 13.7, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.7 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{-4}$:

а) на отрезке $[\frac{1}{2}; 1];

б) на луче $(-\infty; -2];

в) на полуинтервале $(-3; -1];

г) на луче $[3; +\infty).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{-4}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^4}$. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Поскольку $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, значения функции всегда положительны.

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции:

$y' = (x^{-4})' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.

• При $x > 0$, $x^5 > 0$, следовательно, $y' < 0$. Это означает, что функция строго убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• При $x < 0$, $x^5 < 0$, следовательно, $y' > 0$. Это означает, что функция строго возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) на отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$

Данный отрезок полностью лежит в промежутке $(0; +\infty)$, где функция $y = x^{-4}$ является строго убывающей. Для непрерывной убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его левой точке, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-4} = \frac{1}{(1/2)^4} = \frac{1}{1/16} = 16$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{-4} = \frac{1}{1^4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $16$.

б) на луче $(-\infty; -2]$

Данный луч полностью лежит в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция $y = x^{-4}$ является строго возрастающей. Для возрастающей функции на луче вида $(-\infty; a]$ наибольшее значение, если оно существует, достигается в правой конечной точке $x=a$.

Найдем наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$.

Чтобы найти наименьшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^4} = 0$.

Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает, так как $y(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, на данном луче наименьшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $\frac{1}{16}$.

в) на полуинтервале $(-3; -1]$

Данный полуинтервал полностью лежит в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция $y = x^{-4}$ является строго возрастающей. Следовательно, наибольшее значение достигается в самой правой точке промежутка, которая в него включена.

Найдем наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(-1) = (-1)^{-4} = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$.

Левая граница $x=-3$ не включена в полуинтервал. При $x$, стремящемся к $-3$ справа, значения функции стремятся к $y(-3)$:

$\lim_{x \to -3^+} y(x) = y(-3) = (-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81}$.

Поскольку $x$ может быть сколь угодно близко к $-3$, но не равен ему, значение $\frac{1}{81}$ является точной нижней гранью (инфимумом) значений функции, но не достигается. Таким образом, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $1$.

г) на луче $[3; +\infty)$

Данный луч полностью лежит в промежутке $(0; +\infty)$, где функция $y = x^{-4}$ является строго убывающей. Для убывающей функции на луче вида $[a; +\infty)$ наибольшее значение, если оно существует, достигается в левой начальной точке $x=a$.

Найдем наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(3) = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.

Чтобы найти наименьшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$.

$\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^4} = 0$.

Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает. Следовательно, на данном луче наименьшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $\frac{1}{81}$.