Номер 12.40, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.40 Докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите его:

a) $2x^3 + 1 = \frac{3}{x}$;

б) $(x+1)^5 + 2x + 5 = 0.

а) $2x^3 + 1 = \frac{3}{x}$

Для решения данной задачи преобразуем уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя: $x(2x^3 + 1) = 3$ $2x^4 + x = 3$ $2x^4 + x - 3 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^4 + x - 3$. Чтобы доказать, что исходное уравнение имеет единственный корень, нам нужно доказать, что уравнение $f(x) = 0$ имеет единственный корень (с учетом ОДЗ $x \neq 0$).

Для анализа количества корней найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (2x^4 + x - 3)' = 8x^3 + 1$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $8x^3 + 1 = 0$ $8x^3 = -1$ $x^3 = -\frac{1}{8}$ $x = -\frac{1}{2}$

Это единственная критическая точка. Определим знаки производной на интервалах, на которые эта точка делит числовую ось. Если $x < -1/2$, то $x^3 < -1/8$, и $f'(x) = 8x^3 + 1 < 0$, следовательно, функция $f(x)$ на этом промежутке убывает. Если $x > -1/2$, то $x^3 > -1/8$, и $f'(x) = 8x^3 + 1 > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. Таким образом, в точке $x = -1/2$ функция $f(x)$ имеет точку минимума.

Найдем значение функции в точке минимума: $f(-1/2) = 2(-\frac{1}{2})^4 + (-\frac{1}{2}) - 3 = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{8} - \frac{4}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{27}{8}$

Поскольку минимальное значение функции $f(x)$ отрицательно ($f_{min} = -27/8 < 0$), а ветви графика функции (параболы четвертой степени) направлены вверх (при $x \to \pm\infty$, $f(x) \to +\infty$), график функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс в двух точках. Это означает, что уравнение $2x^4 + x - 3 = 0$ имеет два действительных корня. Ни один из них не равен нулю, так что они оба являются корнями исходного уравнения.

Таким образом, условие задачи о единственности корня является некорректным. Тем не менее, мы можем найти один из корней подбором. Проверим целые числа: При $x = 1$: $2(1)^4 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$. Следовательно, $x = 1$ является одним из корней уравнения.

Ответ: Утверждение о единственности корня неверно, уравнение имеет два действительных корня. Один из корней, который легко находится, равен 1.

б) $(x + 1)^5 + 2x + 5 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = (x + 1)^5 + 2x + 5$. Область определения этой функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$. Нам нужно доказать, что уравнение $f(x) = 0$ имеет единственный корень.

Для этого исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $f'(x) = ((x + 1)^5 + 2x + 5)' = 5(x+1)^4 \cdot (x+1)' + 2 = 5(x+1)^4 + 2$

Выражение $(x+1)^4$ всегда неотрицательно, так как представляет собой четную степень: $(x+1)^4 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $5(x+1)^4 \ge 0$. Тогда производная $f'(x) = 5(x+1)^4 + 2 \ge 0 + 2 = 2$. Поскольку $f'(x) > 0$ для всех действительных значений $x$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго монотонная функция может пересекать любую горизонтальную прямую (в том числе ось $y=0$) не более одного раза. Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного корня.

Чтобы доказать существование корня, найдем пределы функции на бесконечности: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} ((x + 1)^5 + 2x + 5) = -\infty$ $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} ((x + 1)^5 + 2x + 5) = +\infty$

Так как функция $f(x)$ непрерывна и принимает значения от $-\infty$ до $+\infty$, по теореме о промежуточном значении она должна принять значение $0$ хотя бы в одной точке.

Из того, что уравнение имеет не более одного корня и хотя бы один корень, следует, что оно имеет ровно один, то есть единственный, корень.

Теперь найдем этот корень. Попробуем подобрать его из небольших целых чисел. Проверим $x = -2$: $f(-2) = (-2 + 1)^5 + 2(-2) + 5 = (-1)^5 - 4 + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$. Таким образом, $x = -2$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что корень единственный, то это и есть искомое решение.

Ответ: $x = -2$.