Номер 12.33, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на чётность и постройте её график:

12.33 a) $y = \frac{x^4}{x}$;

б) $y = \frac{x^4}{|x|}$;

в) $y = \frac{x^5}{x^2}$;

г) $y = x^2|x|$.

а) $y = \frac{x^4}{x}$

1. Исследование на чётность.
Область определения функции $D(y)$: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдём значение функции от $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^4}{-x} = \frac{x^4}{-x} = -\frac{x^4}{x} = -y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

2. Построение графика.
При $x \neq 0$ можно упростить выражение: $y = \frac{x^4}{x} = x^3$. Это означает, что график нашей функции совпадает с графиком кубической параболы $y=x^3$ во всех точках, кроме точки с абсциссой $x=0$. Поскольку функция не определена в точке $x=0$, на графике в этой точке будет разрыв (так называемая "выколотая" точка). Координаты этой точки $(0; 0^3) = (0; 0)$. График представляет собой кубическую параболу с выколотой точкой в начале координат. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: Функция нечётная. График – кубическая парабола $y=x^3$ с выколотой точкой $(0;0)$.

б) $y = \frac{x^4}{|x|}$

1. Исследование на чётность.
Область определения функции $D(y)$: $|x| \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область симметрична относительно начала координат.
Найдём значение функции от $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^4}{|-x|} = \frac{x^4}{|x|} = y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

2. Построение графика.
Раскроем модуль для построения графика:
- Если $x > 0$, то $|x| = x$, и $y = \frac{x^4}{x} = x^3$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $y = \frac{x^4}{-x} = -x^3$.
Итак, функция может быть записана в виде: $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x > 0 \\ -x^3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
Для $x > 0$ строим часть графика $y=x^3$, а для $x < 0$ – часть графика $y=-x^3$. Точка $x=0$ не входит в область определения, поэтому на графике в начале координат будет выколотая точка $(0;0)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Функция чётная. График состоит из двух ветвей: $y=x^3$ при $x>0$ и $y=-x^3$ при $x<0$, с выколотой точкой $(0;0)$.

в) $y = \frac{x^5}{x^2}$

1. Исследование на чётность.
Область определения функции $D(y)$: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область симметрична относительно начала координат.
Найдём значение функции от $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^5}{(-x)^2} = \frac{-x^5}{x^2} = -\frac{x^5}{x^2} = -y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

2. Построение графика.
При $x \neq 0$ упростим выражение: $y = \frac{x^5}{x^2} = x^3$. Данная функция и её график полностью совпадают с функцией и графиком из пункта а). Это кубическая парабола $y=x^3$ с выколотой точкой в начале координат $(0;0)$.

Ответ: Функция нечётная. График – кубическая парабола $y=x^3$ с выколотой точкой $(0;0)$.

г) $y = x^2|x|$

1. Исследование на чётность.
Область определения функции $D(y)$: выражение $x^2|x|$ определено для всех действительных чисел, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область симметрична относительно начала координат.
Найдём значение функции от $-x$:
$y(-x) = (-x)^2|-x| = x^2|x| = y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

2. Построение графика.
Раскроем модуль:
- Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и $y = x^2 \cdot x = x^3$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $y = x^2 \cdot (-x) = -x^3$.
Итак, функция может быть записана в виде: $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x \geq 0 \\ -x^3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
Этот график очень похож на график из пункта б), но поскольку функция определена в точке $x=0$ (и $y(0)=0$), точка $(0;0)$ принадлежит графику (не выколота). График непрерывен и симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Функция чётная. График состоит из двух ветвей: $y=x^3$ при $x \geq 0$ и $y=-x^3$ при $x<0$. График непрерывен.