Номер 12.30, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.30 $y = \begin{cases} 1, \text{ если } -3 \le x \le -1; \\ x^6, \text{ если } -1 < x \le 1; \\ x, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Проведем полное исследование заданной кусочно-непрерывной функции:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ x^6, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция определена на объединении трех промежутков: $[-3, -1]$, $(-1, 1]$ и $(1, \infty)$. Таким образом, область определения функции $D(y)$ есть объединение этих промежутков.

$D(y) = [-3, -1] \cup (-1, 1] \cup (1, \infty) = [-3, \infty)$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = [-3, \infty)$.

2. Исследование на непрерывность и точки разрыва

На каждом из интервалов $(-3, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$ функция задана элементарными функциями ($y=1$, $y=x^6$, $y=x$), которые непрерывны на всей числовой оси. Следовательно, функция непрерывна внутри этих интервалов. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x = -1$ и $x = 1$.

• Проверка в точке $x = -1$:

  Значение функции в точке: $y(-1) = 1$ (согласно первому условию).

  Левосторонний предел: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} 1 = 1$.

  Правосторонний предел: $\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} x^6 = (-1)^6 = 1$.

  Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке равны ($\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) = y(-1)$), функция непрерывна в точке $x = -1$.

• Проверка в точке $x = 1$:

  Значение функции в точке: $y(1) = 1^6 = 1$ (согласно второму условию).

  Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} x^6 = 1^6 = 1$.

  Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$.

  Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке ($\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1)$), функция непрерывна в точке $x = 1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей своей области определения $D(y) = [-3, \infty)$. Точек разрыва нет.

3. Нахождение производной, исследование на монотонность и экстремумы

Найдем производную функции на каждом из интервалов, где она задана:

$y' = \begin{cases} (1)', & \text{если } -3 < x < -1 \\ (x^6)', & \text{если } -1 < x < 1 \\ (x)', & \text{если } x > 1 \end{cases} = \begin{cases} 0, & \text{если } -3 < x < -1 \\ 6x^5, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проверим существование производной в точках $x=-1$ и $x=1$, найдя односторонние производные:

• В точке $x = -1$: $y'(-1^-) = 0$ и $y'(-1^+) = 6(-1)^5 = -6$. Так как $y'(-1^-) \neq y'(-1^+)$, производная в точке $x = -1$ не существует.
• В точке $x = 1$: $y'(1^-) = 6(1)^5 = 6$ и $y'(1^+) = 1$. Так как $y'(1^-) \neq y'(1^+)$, производная в точке $x = 1$ не существует.

Критические точки – это точки, где производная равна нулю или не существует.

• $y' = 0$ при $x \in (-3, -1)$ и при $x=0$ (из $6x^5=0$).
• $y'$ не существует в точках $x=-1$ и $x=1$.

Итак, критические точки: $x=0$ и все точки отрезка $[-3, 1]$.

Исследуем знаки производной для определения промежутков монотонности:

• На интервале $(-3, -1)$: $y' = 0$, функция постоянна.
• На интервале $(-1, 0)$: $y' = 6x^5 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0, 1)$: $y' = 6x^5 > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1, \infty)$: $y' = 1 > 0$, функция возрастает.

Определим точки экстремума:

• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0^6 = 0$. Это также и глобальный минимум функции.
• Точки отрезка $[-3, -1]$ являются точками нестрогого локального максимума, так как $y(x)=1$ на этом отрезке, а вблизи (справа от $x=-1$) значения функции меньше 1. $y_{max} = 1$.

Ответ: Функция постоянна на отрезке $[-3, -1]$, убывает на интервале $(-1, 0)$ и возрастает на $(0, \infty)$. Точка локального (и глобального) минимума $x=0$, $y_{min}=0$. Точки отрезка $[-3, -1]$ являются точками нестрогого локального максимума, $y_{max}=1$.

4. Исследование на выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y'' = \begin{cases} 0, & \text{если } -3 < x < -1 \\ 30x^4, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 0, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проанализируем знак второй производной:

• На интервале $(-3, -1)$: $y'' = 0$, график является отрезком прямой.
• На интервале $(-1, 1)$: $y'' = 30x^4 \ge 0$. График функции является вогнутым (выпуклым вниз).
• На интервале $(1, \infty)$: $y'' = 0$, график является лучом прямой.

Точки, в которых меняется направление выпуклости, – это $x=-1$ (переход от прямой к вогнутой кривой) и $x=1$ (переход от вогнутой кривой к прямой). Хотя это точки излома, в них происходит смена характера выпуклости графика.

Ответ: График функции является вогнутым (выпуклым вниз) на интервале $(-1, 1)$. На промежутках $[-3, -1]$ и $(1, \infty)$ график является прямолинейным. Точки смены выпуклости: $x=-1$ и $x=1$.

5. Нахождение асимптот

• Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция непрерывна на всей области определения.
• Горизонтальные асимптоты: отсутствуют, так как $\lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} x = \infty$.
• Наклонные асимптоты: ищем асимптоту вида $y = kx+b$ при $x \to \infty$.
  $k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$.
  $b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (x - 1 \cdot x) = 0$.
  Следовательно, прямая $y=x$ является наклонной асимптотой при $x \to \infty$. Фактически, график функции совпадает с этой асимптотой при $x > 1$.

Ответ: Вертикальных и горизонтальных асимптот нет. Прямая $y=x$ является наклонной асимптотой на $+\infty$.

6. Построение графика

На основе проведенного анализа строим график функции.

1. На отрезке $[-3, -1]$ рисуем горизонтальный отрезок прямой $y=1$ между точками $(-3, 1)$ и $(-1, 1)$.
2. На промежутке $(-1, 1]$ рисуем кривую $y=x^6$. Она плавно соединяет точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, проходя через точку минимума $(0, 0)$.
3. Для $x>1$ рисуем луч $y=x$, выходящий из точки $(1, 1)$ под углом 45 градусов.

В результате получается непрерывный график с двумя угловыми точками (изломами) в $x=-1$ и $x=1$.

Ответ: График построен на основании результатов исследования.