Номер 12.24, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.24 Пусть $P$ — наибольшее значение функции $y = (x + 2)^5$ на отрезке $[-3; -1]$, а $Q$ — наименьшее значение функции $y = \sqrt{x}$ на луче $[0; +\infty)$. Что больше: $P$ или $Q$? Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение P

Требуется найти наибольшее значение функции $y = (x + 2)^5$ на отрезке $[-3; -1]$.
Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

1. Найдем производную функции, чтобы определить критические точки.
$y' = ((x+2)^5)' = 5(x+2)^4 \cdot (x+2)' = 5(x+2)^4$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
$5(x+2)^4 = 0$
$x+2 = 0$
$x = -2$.
Критическая точка $x = -2$ принадлежит заданному отрезку $[-3; -1]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.
- Значение на левом конце отрезка, при $x = -3$:
$y(-3) = (-3 + 2)^5 = (-1)^5 = -1$.
- Значение в критической точке, при $x = -2$:
$y(-2) = (-2 + 2)^5 = 0^5 = 0$.
- Значение на правом конце отрезка, при $x = -1$:
$y(-1) = (-1 + 2)^5 = 1^5 = 1$.

Сравнивая полученные значения $\{-1, 0, 1\}$, выбираем наибольшее. Наибольшее значение равно 1.
Следовательно, $P$ — наибольшее значение функции на отрезке — равно 1.

Ответ: $P = 1$.

Нахождение Q

Требуется найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x}$ на луче $[0; +\infty)$.

1. Проанализируем поведение функции.
Функция $y = \sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$, что совпадает с заданным лучом.
Найдем производную функции: $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На интервале $(0; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения $[0; +\infty)$.

2. Найдем наименьшее значение.
Поскольку функция монотонно возрастает, свое наименьшее значение она принимает в начальной точке луча, то есть при $x=0$.
Вычислим это значение: $y(0) = \sqrt{0} = 0$.
Следовательно, $Q$ — наименьшее значение функции на луче — равно 0.

Ответ: $Q = 0$.

Сравнение P и Q

Мы получили значения $P = 1$ и $Q = 0$.
Сравнивая их, видим, что $1 > 0$.
Таким образом, $P > Q$.

Ответ: $P > Q$.

Графическая иллюстрация

На приведенном ниже графике показаны обе функции.
- График функции $y=(x+2)^5$ изображен синим цветом. Отрезок, на котором ищется наибольшее значение (от $x=-3$ до $x=-1$), выделен жирной линией. Точка A(-1, 1) является точкой максимума на этом отрезке, ее ордината дает значение $P=1$.
- График функции $y=\sqrt{x}$ изображен красным цветом. Точка B(0, 0) является точкой минимума на луче $[0; +\infty)$, ее ордината дает значение $Q=0$.