Номер 12.17, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.17 a) $x^3 = 4x;$

Б) $(x + 1)^3 = 1 - 2x;$

В) $x^3 = \frac{1}{x};$

Г) $-x^3 + 2 = x + 4.$

а)

Исходное уравнение: $x^3 = 4x$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

$x_1 = 0$

$x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x+2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Ответ: $-2; 0; 2$.

б)

Исходное уравнение: $(x+1)^3 = 1 - 2x$.

Раскроем куб в левой части и перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 1 - 2x$

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 1 + 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 3x^2 + 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 3x + 5) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x = 0$

2) $x^2 + 3x + 5 = 0$

Решим второе, квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $0$.

в)

Исходное уравнение: $x^3 = \frac{1}{x}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как переменная $x$ находится в знаменателе, то $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x^3 \cdot x = 1$

$x^4 = 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$x^4 - 1 = 0$

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$

Выражение $x^2+1$ всегда больше нуля при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$.

Следовательно, для нахождения корней необходимо решить уравнение:

$x^2 - 1 = 0$

Разложим его на множители:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-1; 1$.

г)

Исходное уравнение: $-x^3 + 2 = x + 4$.

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$0 = x^3 + x + 4 - 2$

$x^3 + x + 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (числа 2). Делители: $\pm1, \pm2$.

Подставим $x=-1$ в уравнение:

$(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$

Так как получилось верное равенство $0 = 0$, то $x=-1$ является корнем уравнения.

Теперь разделим многочлен $x^3 + x + 2$ на двучлен $(x - (-1)) = (x+1)$, чтобы найти остальные корни.

$(x^3 + x + 2) : (x+1) = x^2 - x + 2$

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x+1)(x^2 - x + 2) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

2) $x^2 - x + 2 = 0$

Решим второе, квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $-1$.