Номер 12.10, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.10 а) $y = -x^3$;

б) $y = x^7$;

В) $y = x^5$;

Г) $y = -x^9$.

а) $y = -x^3$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (-x^3)' = -3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-3x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает числовую ось. Выражение $x^2$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=0$). Следовательно, производная $y' = -3x^2 \leq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная не является положительной ни на одном промежутке, функция не имеет промежутков возрастания. Так как $y' \leq 0$ на всей области определения и равна нулю лишь в одной точке $x=0$, функция является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

б) $y = x^7$

Найдем производную функции для определения промежутков монотонности. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x^7)' = 7x^6$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $7x^6 = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знак производной. Выражение $x^6$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=0$). Следовательно, производная $y' = 7x^6 \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная не является отрицательной ни на одном промежутке, функция не имеет промежутков убывания. Так как $y' \geq 0$ на всей области определения и равна нулю лишь в одной точке $x=0$, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

в) $y = x^5$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x^5)' = 5x^4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $5x^4 = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знак производной. Выражение $x^4$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=0$). Следовательно, производная $y' = 5x^4 \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Так как производная не является отрицательной ни на одном промежутке, функция не имеет промежутков убывания. Поскольку $y' \geq 0$ на всей области определения и обращается в ноль только в точке $x=0$, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

г) $y = -x^9$

Чтобы определить промежутки монотонности, найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (-x^9)' = -9x^8$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-9x^8 = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знак производной. Выражение $x^8$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=0$). Следовательно, производная $y' = -9x^8 \leq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная не является положительной ни на одном промежутке, функция не имеет промежутков возрастания. Так как $y' \leq 0$ на всей области определения и обращается в ноль только в точке $x=0$, функция является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.