Номер 12.8, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.8 Постройте график функции:

а) $y = -x^4$;

б) $y = x^4 - 4$;

в) $y = (x - 1)^4$;

г) $y = -x^4 + 8$.

Для построения всех графиков будем использовать преобразования графика базовой функции $y = x^4$. График этой функции симметричен относительно оси ординат (четная функция), проходит через начало координат $(0, 0)$, точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$, и его ветви направлены вверх. Он похож на параболу $y=x^2$, но более пологий около нуля и растет быстрее при $|x| > 1$.

а) $y = -x^4$

График функции $y = -x^4$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$).

• Вершина графика находится в точке $(0, 0)$, которая является точкой максимума.
• Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^4 = -x^4 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Ветви графика направлены вниз.

Составим таблицу значений для построения:

Ответ: График функции $y = -x^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем его симметричного отражения относительно оси $Ox$.

б) $y = x^4 - 4$

График функции $y = x^4 - 4$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 4 единицы вниз.

• Вершина графика сдвигается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -4)$, которая является точкой минимума.
• Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^4 - 4 = x^4 - 4 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Ветви графика направлены вверх.
• График пересекает ось $Ox$ в точках, где $y=0$. $x^4 - 4 = 0 \Rightarrow x^4 = 4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

Ответ: График функции $y = x^4 - 4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем его сдвига на 4 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) $y = (x - 1)^4$

График функции $y = (x - 1)^4$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на 1 единицу вправо.

• Вершина графика сдвигается из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$, которая является точкой минимума.
• Ось симметрии графика — прямая $x = 1$.
• Ветви графика направлены вверх.
• График пересекает ось $Oy$ в точке, где $x=0$: $y = (0-1)^4 = 1$. Точка пересечения: $(0, 1)$.

Составим таблицу значений для построения:

Ответ: График функции $y = (x-1)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем его сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$.

г) $y = -x^4 + 8$

График функции $y = -x^4 + 8$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ за два шага:

1. Симметричное отражение графика $y = x^4$ относительно оси $Ox$, чтобы получить график $y = -x^4$.
2. Параллельный перенос (сдвиг) полученного графика $y = -x^4$ на 8 единиц вверх вдоль оси $Oy$.

• Вершина графика находится в точке $(0, 8)$, которая является точкой максимума.
• Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^4 + 8 = -x^4 + 8 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Ветви графика направлены вниз.
• График пересекает ось $Ox$ в точках, где $y=0$. $-x^4 + 8 = 0 \Rightarrow x^4 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt[4]{8}$. Точки пересечения: $(-\sqrt[4]{8}, 0)$ и $(\sqrt[4]{8}, 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

Ответ: График функции $y = -x^4 + 8$ получается из графика функции $y = x^4$ путем его симметричного отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 8 единиц вверх вдоль оси $Oy$.