Номер 12.13, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.13 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^6$:

а) на отрезке $[-1; 1]$;

в) на полуинтервале $(-2; 2]$;

б) на луче $[\frac{1}{2}; +\infty)$;

г) на луче $(-\infty; 3]$.

Для решения задачи проанализируем свойства функции $y=x^6$. Это степенная функция с четным показателем.

• Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.
• Функция неотрицательна при всех значениях $x$. Глобальный минимум функции достигается в точке $x=0$ и равен $y(0) = 0$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции на заданных промежутках.

а) на отрезке $[-1; 1]$

Данный отрезок симметричен относительно точки $x=0$, в которой функция достигает своего минимума. Следовательно, наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$ будет в этой точке.

$y_{min} = y(0) = 0^6 = 0$.

Так как функция возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$, наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$ будет достигаться в точках, наиболее удаленных от нуля, то есть на концах отрезка.

$y(-1) = (-1)^6 = 1$

$y(1) = 1^6 = 1$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке равно 1.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на луче $[\frac{1}{2}; +\infty)$

На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = x^6$ монотонно возрастает. Луч $[\frac{1}{2}; +\infty)$ является частью этого промежутка, поэтому функция на нем также возрастает.

Наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча, то есть при $x = \frac{1}{2}$.

$y_{min} = y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

Поскольку при $x \to +\infty$ значения функции $y=x^6$ неограниченно возрастают, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{1}{64}$, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале $(-2; 2]$

На данном промежутке находится точка минимума функции $x=0$.

$y_{min} = y(0) = 0^6 = 0$.

Это наименьшее значение функции на данном полуинтервале.

Для нахождения наибольшего значения исследуем поведение функции на концах полуинтервала. На промежутке $(-2; 0]$ функция убывает, а на $[0; 2]$ — возрастает.

Найдем значение на правом конце, который включен в полуинтервал:

$y(2) = 2^6 = 64$.

На левом конце, который не включен в полуинтервал, значение функции стремится к:

$\lim_{x \to -2^+} x^6 = (-2)^6 = 64$.

Так как $x=2$ входит в полуинтервал $(-2; 2]$, значение $y=64$ достигается. Это и есть наибольшее значение функции на данном полуинтервале.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 64.

г) на луче $(-\infty; 3]$

На данном луче находится точка глобального минимума функции $x=0$.

$y_{min} = y(0) = 0^6 = 0$.

Это наименьшее значение функции на данном луче.

Для нахождения наибольшего значения исследуем поведение функции на концах луча. На правом конце $x=3$ значение функции равно:

$y(3) = 3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

При $x \to -\infty$, так как показатель степени 6 — четное число, функция неограниченно возрастает:

$\lim_{x \to -\infty} x^6 = +\infty$.

Следовательно, наибольшего значения на данном луче функция не достигает.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшего значения не существует.