Номер 12.6, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.6 Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = (x + 2)^3;$

б) $y = -(x - 4)^3 + 1;$

в) $y = x^3 - 10;$

г) $y = -(x + 1)^3 - 3.$

а) $y = (x + 2)^3$

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$y' = ((x + 2)^3)' = 3(x + 2)^{3-1} \cdot (x+2)' = 3(x+2)^2 \cdot 1 = 3(x+2)^2$.

Теперь определим знак производной. Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $y' = 3(x+2)^2 \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная равна нулю в точке $x = -2$. Так как производная $y'$ неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = -(x - 4)^3 + 1$

Найдем производную данной функции. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (-(x - 4)^3 + 1)' = -((x-4)^3)' + (1)' = -3(x-4)^2 \cdot (x-4)' + 0 = -3(x-4)^2$.

Определим знак производной. Выражение $(x-4)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-4)^2 \ge 0$. Умножение на отрицательное число $-3$ меняет знак неравенства, поэтому $y' = -3(x-4)^2 \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная равна нулю в точке $x = 4$. Так как производная $y'$ неположительна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = x^3 - 10$

Найдем производную функции. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (x^3 - 10)' = (x^3)' - (10)' = 3x^2 - 0 = 3x^2$.

Определим знак производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $y' = 3x^2 \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная равна нулю в точке $x = 0$. Так как производная $y'$ неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -(x + 1)^3 - 3$

Найдем производную функции. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (-(x + 1)^3 - 3)' = -((x+1)^3)' - (3)' = -3(x+1)^2 \cdot (x+1)' - 0 = -3(x+1)^2$.

Определим знак производной. Выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+1)^2 \ge 0$. Умножение на $-3$ приводит к тому, что $y' = -3(x+1)^2 \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная равна нулю в точке $x = -1$. Так как производная $y'$ неположительна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.