Номер 11.34, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-04642-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

§ 11. Чётные и нечётные функции. Глава 3. Числовые функции. ч. 2 - номер 11.34, страница 75.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№11.34 (с. 75)
Условие. №11.34 (с. 75)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 75, номер 11.34, Условие

11.34 a) y=(x3)24y = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4};

б) $y = \sqrt{4 - x^2} + 1;

В) y=2(x1)2y = 2 - \sqrt{(|x| - 1)^2};

Г) $y = \sqrt{1 - x^2} - 2.

Решение 1. №11.34 (с. 75)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 75, номер 11.34, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 75, номер 11.34, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 75, номер 11.34, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 75, номер 11.34, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 3. №11.34 (с. 75)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 75, номер 11.34, Решение 3
Решение 4. №11.34 (с. 75)

а) y=(x3)24y = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4}

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

(x3)240(|x| - 3)^2 - 4 \ge 0

(x3)24(|x| - 3)^2 \ge 4

Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:

x32||x| - 3| \ge 2

Это неравенство распадается на два случая:

1) x32    x5    x(,5][5,)|x| - 3 \ge 2 \implies |x| \ge 5 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty).

2) x32    x1    x[1,1]|x| - 3 \le -2 \implies |x| \le 1 \implies x \in [-1, 1].

Объединяя эти два случая, получаем область определения: D(y)=(,5][1,1][5,)D(y) = (-\infty, -5] \cup [-1, 1] \cup [5, \infty).

2. Преобразуем уравнение.

Поскольку y0y \ge 0, мы можем возвести обе части в квадрат:

y2=(x3)24y^2 = (|x| - 3)^2 - 4

y2+4=(x3)2y^2 + 4 = (|x| - 3)^2

(x3)2y2=4(|x| - 3)^2 - y^2 = 4

(x3)24y24=1\frac{(|x| - 3)^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1

Рассмотрим случай x0x \ge 0. Уравнение принимает вид (x3)222y222=1\frac{(x - 3)^2}{2^2} - \frac{y^2}{2^2} = 1. Это уравнение гиперболы с центром в точке (3,0)(3, 0) и полуосями a=2,b=2a=2, b=2. Так как в исходной функции y0y \ge 0, мы рассматриваем только верхнюю ветвь этой гиперболы.

Функция является четной, так как y(x)=(x3)24=(x3)24=y(x)y(-x) = \sqrt{(|-x| - 3)^2 - 4} = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4} = y(x). Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. График для x<0x < 0 является зеркальным отражением графика для x>0x > 0.

3. Найдем область значений функции.

Из определения функции y=y = \sqrt{\dots} следует, что y0y \ge 0. Минимальное значение y=0y=0 достигается, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при x=1|x|=1 и x=5|x|=5 (точки x=±1,x=±5x = \pm 1, x = \pm 5).

Когда x|x| \to \infty, выражение (x3)24(|x| - 3)^2 - 4 \to \infty, следовательно, yy \to \infty.

Область значений: E(y)=[0,)E(y) = [0, \infty).

Ответ: Область определения D(y)=(,5][1,1][5,)D(y) = (-\infty, -5] \cup [-1, 1] \cup [5, \infty). Область значений E(y)=[0,)E(y) = [0, \infty). График функции состоит из частей верхних ветвей двух гипербол, симметричных относительно оси Oy.

б) y=4x2+1y = \sqrt{4 - x^2} + 1

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

4x20    x24    x2    2x24 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies |x| \le 2 \implies -2 \le x \le 2.

Область определения: D(y)=[2,2]D(y) = [-2, 2].

2. Преобразуем уравнение.

y1=4x2y - 1 = \sqrt{4 - x^2}

Так как квадратный корень неотрицателен, y10y - 1 \ge 0, то есть y1y \ge 1. Возведем обе части в квадрат:

(y1)2=4x2(y - 1)^2 = 4 - x^2

x2+(y1)2=4x^2 + (y - 1)^2 = 4

x2+(y1)2=22x^2 + (y - 1)^2 = 2^2

Это уравнение окружности с центром в точке (0,1)(0, 1) и радиусом R=2R=2. Учитывая условие y1y \ge 1, графиком функции является верхняя полуокружность.

3. Найдем область значений функции.

Минимальное значение yy достигается на концах интервала области определения, при x=±2x = \pm 2:

y(2)=y(2)=4(±2)2+1=0+1=1y(-2) = y(2) = \sqrt{4 - (\pm 2)^2} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1.

Максимальное значение yy достигается при x=0x=0:

y(0)=402+1=2+1=3y(0) = \sqrt{4 - 0^2} + 1 = 2 + 1 = 3.

Таким образом, область значений: E(y)=[1,3]E(y) = [1, 3].

Ответ: Область определения D(y)=[2,2]D(y) = [-2, 2]. Область значений E(y)=[1,3]E(y) = [1, 3]. График функции — верхняя полуокружность с центром в (0,1)(0, 1) и радиусом 2.

в) y=2(x1)2y = 2 - \sqrt{(|x| - 1)^2}

1. Упростим выражение.

Используя свойство a2=a\sqrt{a^2} = |a|, получаем:

y=2x1y = 2 - ||x| - 1|

2. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Выражение (x1)2(|x|-1)^2 неотрицательно при любом действительном значении xx. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

D(y)=(,)D(y) = (-\infty, \infty).

3. Проанализируем функцию и найдем область значений.

Рассмотрим выражение f(x)=x1f(x) = ||x| - 1|.

Минимальное значение f(x)f(x) равно 00. Это достигается, когда x1=0|x| - 1 = 0, то есть при x=1|x| = 1 (x=±1x = \pm 1).

Максимальное значение f(x)f(x) на отрезке [1,1][-1, 1] достигается при x=0x=0, f(0)=01=1=1f(0)=| |0|-1 | = |-1|=1.

При x|x| \to \infty, f(x)f(x) \to \infty.

Теперь рассмотрим исходную функцию y=2f(x)=2x1y = 2 - f(x) = 2 - ||x| - 1|.

Так как f(x)0f(x) \ge 0, то f(x)0-f(x) \le 0, и y=2f(x)2y = 2 - f(x) \le 2.

Максимальное значение y=2y=2 достигается, когда f(x)f(x) минимально, т.е. f(x)=0f(x)=0. Это происходит при x=±1x = \pm 1.

При x±x \to \pm\infty, f(x)f(x) \to \infty, следовательно y=2f(x)y = 2 - f(x) \to -\infty.

Таким образом, область значений функции: E(y)=(,2]E(y) = (-\infty, 2].

График функции имеет W-образную форму, перевернутую и сдвинутую вверх. Вершины находятся в точках (1,2)(-1, 2), (0,1)(0, 1) и (1,2)(1, 2).

Ответ: Область определения D(y)=(,)D(y) = (-\infty, \infty). Область значений E(y)=(,2]E(y) = (-\infty, 2].

г) y=1x22y = \sqrt{1 - x^2} - 2

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

1x20    x21    x1    1x11 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies |x| \le 1 \implies -1 \le x \le 1.

Область определения: D(y)=[1,1]D(y) = [-1, 1].

2. Преобразуем уравнение.

y+2=1x2y + 2 = \sqrt{1 - x^2}

Так как квадратный корень неотрицателен, y+20y + 2 \ge 0, то есть y2y \ge -2. Возведем обе части в квадрат:

(y+2)2=1x2(y + 2)^2 = 1 - x^2

x2+(y+2)2=1x^2 + (y + 2)^2 = 1

x2+(y+2)2=12x^2 + (y + 2)^2 = 1^2

Это уравнение окружности с центром в точке (0,2)(0, -2) и радиусом R=1R=1. Учитывая условие y2y \ge -2, графиком функции является верхняя полуокружность.

3. Найдем область значений функции.

Минимальное значение yy достигается на концах интервала области определения, при x=±1x = \pm 1:

y(1)=y(1)=1(±1)22=02=2y(-1) = y(1) = \sqrt{1 - (\pm 1)^2} - 2 = \sqrt{0} - 2 = -2.

Максимальное значение yy достигается при x=0x=0:

y(0)=1022=12=1y(0) = \sqrt{1 - 0^2} - 2 = 1 - 2 = -1.

Таким образом, область значений: E(y)=[2,1]E(y) = [-2, -1].

Ответ: Область определения D(y)=[1,1]D(y) = [-1, 1]. Область значений E(y)=[2,1]E(y) = [-2, -1]. График функции — верхняя полуокружность с центром в (0,2)(0, -2) и радиусом 1.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 11.34 расположенного на странице 75 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.34 (с. 75), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться