Номер 11.34, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.34 a) $y = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4}$;

б) $y = \sqrt{4 - x^2} + 1;

В) $y = 2 - \sqrt{(|x| - 1)^2}$;

Г) $y = \sqrt{1 - x^2} - 2.

а) $y = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(|x| - 3)^2 - 4 \ge 0$

$(|x| - 3)^2 \ge 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$||x| - 3| \ge 2$

Это неравенство распадается на два случая:

1) $|x| - 3 \ge 2 \implies |x| \ge 5 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

2) $|x| - 3 \le -2 \implies |x| \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.

Объединяя эти два случая, получаем область определения: $D(y) = (-\infty, -5] \cup [-1, 1] \cup [5, \infty)$.

2. Преобразуем уравнение.

Поскольку $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат:

$y^2 = (|x| - 3)^2 - 4$

$y^2 + 4 = (|x| - 3)^2$

$(|x| - 3)^2 - y^2 = 4$

$\frac{(|x| - 3)^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$

Рассмотрим случай $x \ge 0$. Уравнение принимает вид $\frac{(x - 3)^2}{2^2} - \frac{y^2}{2^2} = 1$. Это уравнение гиперболы с центром в точке $(3, 0)$ и полуосями $a=2, b=2$. Так как в исходной функции $y \ge 0$, мы рассматриваем только верхнюю ветвь этой гиперболы.

Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{(|-x| - 3)^2 - 4} = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4} = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. График для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x > 0$.

3. Найдем область значений функции.

Из определения функции $y = \sqrt{\dots}$ следует, что $y \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при $|x|=1$ и $|x|=5$ (точки $x = \pm 1, x = \pm 5$).

Когда $|x| \to \infty$, выражение $(|x| - 3)^2 - 4 \to \infty$, следовательно, $y \to \infty$.

Область значений: $E(y) = [0, \infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, -5] \cup [-1, 1] \cup [5, \infty)$. Область значений $E(y) = [0, \infty)$. График функции состоит из частей верхних ветвей двух гипербол, симметричных относительно оси Oy.

б) $y = \sqrt{4 - x^2} + 1$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

$4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies |x| \le 2 \implies -2 \le x \le 2$.

Область определения: $D(y) = [-2, 2]$.

2. Преобразуем уравнение.

$y - 1 = \sqrt{4 - x^2}$

Так как квадратный корень неотрицателен, $y - 1 \ge 0$, то есть $y \ge 1$. Возведем обе части в квадрат:

$(y - 1)^2 = 4 - x^2$

$x^2 + (y - 1)^2 = 4$

$x^2 + (y - 1)^2 = 2^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=2$. Учитывая условие $y \ge 1$, графиком функции является верхняя полуокружность.

3. Найдем область значений функции.

Минимальное значение $y$ достигается на концах интервала области определения, при $x = \pm 2$:

$y(-2) = y(2) = \sqrt{4 - (\pm 2)^2} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1$.

Максимальное значение $y$ достигается при $x=0$:

$y(0) = \sqrt{4 - 0^2} + 1 = 2 + 1 = 3$.

Таким образом, область значений: $E(y) = [1, 3]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-2, 2]$. Область значений $E(y) = [1, 3]$. График функции — верхняя полуокружность с центром в $(0, 1)$ и радиусом 2.

в) $y = 2 - \sqrt{(|x| - 1)^2}$

1. Упростим выражение.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = 2 - ||x| - 1|$

2. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Выражение $(|x|-1)^2$ неотрицательно при любом действительном значении $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

$D(y) = (-\infty, \infty)$.

3. Проанализируем функцию и найдем область значений.

Рассмотрим выражение $f(x) = ||x| - 1|$.

Минимальное значение $f(x)$ равно $0$. Это достигается, когда $|x| - 1 = 0$, то есть при $|x| = 1$ ($x = \pm 1$).

Максимальное значение $f(x)$ на отрезке $[-1, 1]$ достигается при $x=0$, $f(0)=| |0|-1 | = |-1|=1$.

При $|x| \to \infty$, $f(x) \to \infty$.

Теперь рассмотрим исходную функцию $y = 2 - f(x) = 2 - ||x| - 1|$.

Так как $f(x) \ge 0$, то $-f(x) \le 0$, и $y = 2 - f(x) \le 2$.

Максимальное значение $y=2$ достигается, когда $f(x)$ минимально, т.е. $f(x)=0$. Это происходит при $x = \pm 1$.

При $x \to \pm\infty$, $f(x) \to \infty$, следовательно $y = 2 - f(x) \to -\infty$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 2]$.

График функции имеет W-образную форму, перевернутую и сдвинутую вверх. Вершины находятся в точках $(-1, 2)$, $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, \infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty, 2]$.

г) $y = \sqrt{1 - x^2} - 2$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

$1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies |x| \le 1 \implies -1 \le x \le 1$.

Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.

2. Преобразуем уравнение.

$y + 2 = \sqrt{1 - x^2}$

Так как квадратный корень неотрицателен, $y + 2 \ge 0$, то есть $y \ge -2$. Возведем обе части в квадрат:

$(y + 2)^2 = 1 - x^2$

$x^2 + (y + 2)^2 = 1$

$x^2 + (y + 2)^2 = 1^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $R=1$. Учитывая условие $y \ge -2$, графиком функции является верхняя полуокружность.

3. Найдем область значений функции.

Минимальное значение $y$ достигается на концах интервала области определения, при $x = \pm 1$:

$y(-1) = y(1) = \sqrt{1 - (\pm 1)^2} - 2 = \sqrt{0} - 2 = -2$.

Максимальное значение $y$ достигается при $x=0$:

$y(0) = \sqrt{1 - 0^2} - 2 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, область значений: $E(y) = [-2, -1]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$. Область значений $E(y) = [-2, -1]$. График функции — верхняя полуокружность с центром в $(0, -2)$ и радиусом 1.