Номер 11.28, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.28 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 4 + 3x^2, \text{ если } x > 0; \\ h(x), \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$ так, чтобы функция $y = f(x)$ являлась нечётной.

По определению, функция $y=f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Также, область определения нечётной функции должна быть симметрична относительно нуля.

Дана функция $f(x) = \begin{cases} 4 + 3x^2, & \text{если } x > 0; \\ h(x), & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Её область определения $D(f) = (- \infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля, поэтому первое условие нечётности выполнено.

Теперь необходимо удовлетворить второе условие: $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим произвольное значение $x > 0$. Для такого $x$ соответствующее значение $-x$ будет отрицательным ($-x < 0$). Согласно заданию, при $x > 0$ имеем $f(x) = 4 + 3x^2$, а при $-x < 0$ имеем $f(-x) = h(-x)$.

Подставим эти выражения в основное свойство нечётной функции $f(-x) = -f(x)$: $h(-x) = -(4 + 3x^2)$ $h(-x) = -4 - 3x^2$

Это равенство связывает значения функции $h$ с положительными значениями $x$. Чтобы найти вид самой функции $h(x)$, которая определена для отрицательных аргументов, сделаем замену переменной. Пусть $z = -x$. Так как $x > 0$, то $z < 0$. Из $z = -x$ следует, что $x = -z$. Подставим $x=-z$ в полученное выше равенство: $h(z) = -4 - 3(-z)^2$ $h(z) = -4 - 3z^2$

Мы получили выражение для функции $h$ для всех её аргументов, так как $z$ принимает все отрицательные значения. Заменив переменную $z$ на $x$, получаем искомую формулу: $h(x) = -4 - 3x^2$

Таким образом, для того чтобы исходная функция $f(x)$ была нечётной, функция $h(x)$ должна быть задана как $h(x) = -4 - 3x^2$ при $x < 0$.

Ответ: $h(x) = -4 - 3x^2$