Номер 11.26, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.26 Функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция $y = h(x)$ чётной или нечётной, если:

а) $h(x) = f(x) \cdot g^2(x)$, $y = f(x)$ — чётная функция, $y = g(x)$ — нечётная функция;

б) $h(x) = f(x) - g(x)$, $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — чётные функции;

в) $h(x) = f(x) + g(x)$, $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — нечётные функции;

г) $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — нечётные функции?

Для того чтобы определить, является ли функция $h(x)$ четной или нечетной, необходимо исследовать значение $h(-x)$.

• Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.
• Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$.

Во всех случаях функции определены на множестве всех действительных чисел, которое является симметричным относительно нуля, поэтому такая проверка корректна.

а) $h(x) = f(x) \cdot g^2(x)$, где $y=f(x)$ — четная функция, а $y=g(x)$ — нечетная функция.

По определению четной функции имеем $f(-x) = f(x)$.
По определению нечетной функции имеем $g(-x) = -g(x)$.

Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g^2(-x) = f(-x) \cdot (g(-x))^2$.
Подставим свойства функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = f(x) \cdot (-g(x))^2 = f(x) \cdot g^2(x)$.
Так как $h(x) = f(x) \cdot g^2(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Следовательно, функция $h(x)$ является четной.

Ответ: четная функция.

б) $h(x) = f(x) - g(x)$, где $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — четные функции.

По определению четной функции имеем $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$.

Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) - g(-x)$.
Подставим свойства функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = f(x) - g(x)$.
Так как $h(x) = f(x) - g(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Следовательно, функция $h(x)$ является четной (разность двух четных функций есть функция четная).

Ответ: четная функция.

в) $h(x) = f(x) + g(x)$, где $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — нечетные функции.

По определению нечетной функции имеем $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.

Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) + g(-x)$.
Подставим свойства функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x))$.
Так как $h(x) = f(x) + g(x)$, мы получили, что $h(-x) = -h(x)$.
Следовательно, функция $h(x)$ является нечетной (сумма двух нечетных функций есть функция нечетная).

Ответ: нечетная функция.

г) $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, где $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — нечетные функции.

По определению нечетной функции имеем $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.

Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$.
Подставим свойства функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x)$.
Так как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Следовательно, функция $h(x)$ является четной (произведение двух нечетных функций есть функция четная).

Ответ: четная функция.