Номер 11.20, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте на чётность функцию:

11.20 а) $y = \sqrt{x+1};$

б) $y = \frac{x-2}{x^2-1};$

в) $y = \sqrt{x-5};$

г) $y = \frac{x+2}{x^2-16}.$

а) $y = \sqrt{x + 1}$

Для исследования функции на чётность необходимо найти её область определения $D(y)$ и проверить её на симметричность относительно начала координат. Если область определения несимметрична, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Найдём область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, следовательно, $x \ge -1$.

Область определения $D(y) = [-1; +\infty)$.

Эта область не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=3$ принадлежит области определения, в то время как точка $-x=-3$ ей не принадлежит.

Поскольку область определения функции несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

б) $y = \frac{x-2}{x^2 - 1}$

1. Найдём область определения функции $D(y)$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \ne 0$, откуда $x^2 \ne 1$, то есть $x \ne \pm 1$.

Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Так как область определения симметрична, проверим выполнение условий чётности или нечётности. Для этого найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{(-x)-2}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x - 2}{x^2 - 1}$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:

$y(-x) = \frac{-x - 2}{x^2 - 1} \ne y(x) = \frac{x-2}{x^2-1}$. Равенство не выполняется, значит, функция не является чётной.

Сравним $y(-x)$ с $-y(x)$:

$-y(x) = -\frac{x-2}{x^2-1} = \frac{2-x}{x^2-1}$.

$y(-x) = \frac{-x - 2}{x^2 - 1} \ne -y(x) = \frac{2-x}{x^2-1}$. Равенство не выполняется, значит, функция не является нечётной.

Следовательно, функция является функцией общего вида.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

в) $y = \sqrt{x - 5}$

Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 5 \ge 0$, следовательно, $x \ge 5$.

Область определения $D(y) = [5; +\infty)$.

Эта область не является симметричной относительно нуля. Например, $x=6$ принадлежит области определения, а $-x=-6$ не принадлежит.

Так как область определения функции несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

г) $y = \frac{x+2}{x^2 - 16}$

1. Найдём область определения функции $D(y)$. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 - 16 \ne 0$, откуда $x^2 \ne 16$, то есть $x \ne \pm 4$.

Область определения $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Поскольку область определения симметрична, найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{(-x)+2}{(-x)^2 - 16} = \frac{-x + 2}{x^2 - 16}$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:

$y(-x) = \frac{-x+2}{x^2-16} \ne y(x) = \frac{x+2}{x^2-16}$. Равенство не выполняется, так как, например, для $x=1$ значения различны. Функция не является чётной.

Сравним $y(-x)$ с $-y(x)$:

$-y(x) = -\frac{x+2}{x^2-16} = \frac{-x-2}{x^2-16}$.

$y(-x) = \frac{-x+2}{x^2-16} \ne -y(x) = \frac{-x-2}{x^2-16}$. Равенство не выполняется. Функция не является нечётной.

Таким образом, данная функция является функцией общего вида.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.