Номер 11.16, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.16 Известно, что функция $y = f(x)$ — чётная и ограничена снизу при $x > 0$. Можно ли утверждать, что она при $x < 0$:

а) ограничена сверху;

б) ограничена снизу?

По условию, функция $y=f(x)$ является чётной, что означает выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Также функция ограничена снизу при $x > 0$, то есть существует такое число $m$, что для любого $x > 0$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Свойство чётности $f(-x) = f(x)$ означает, что множество значений функции на интервале $(-\infty, 0)$ в точности совпадает с множеством значений на интервале $(0, +\infty)$. То есть, какое бы значение функция ни принимала при $x_0 < 0$, она примет то же самое значение при $-x_0 > 0$, и наоборот.

а) ограничена сверху;

Нет, утверждать, что функция ограничена сверху при $x < 0$, нельзя. Тот факт, что множество значений функции на $(0, +\infty)$ ограничено снизу, не означает, что оно ограничено сверху. А поскольку множество значений для $x < 0$ совпадает с множеством значений для $x > 0$, оно тоже не обязано быть ограничено сверху.

Рассмотрим контрпример: функция $f(x) = x^2$.

• Эта функция является чётной, так как $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
• При $x > 0$ функция $f(x) = x^2$ принимает значения из интервала $(0, +\infty)$, следовательно, она ограничена снизу (например, числом $m=0$).
• Однако при $x < 0$ функция $f(x) = x^2$ принимает те же значения из $(0, +\infty)$. Это множество не ограничено сверху, так как при $x \to -\infty$, значение $f(x) \to +\infty$.

Таким образом, мы привели пример чётной функции, которая ограничена снизу при $x > 0$, но не ограничена сверху при $x < 0$.

Ответ: нет.

б) ограничена снизу?

Да, можно утверждать, что функция ограничена снизу при $x < 0$.

Доказательство:

По условию, функция $f(x)$ ограничена снизу при $x > 0$. Это означает, что существует такое действительное число $m$, что для всех $x > 0$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Рассмотрим произвольное значение $x_0 < 0$.

Поскольку функция $f(x)$ является чётной, то справедливо равенство $f(x_0) = f(-x_0)$.

Так как по нашему выбору $x_0 < 0$, то $-x_0 > 0$.

Поскольку $-x_0$ является положительным числом, для него выполняется исходное условие ограниченности снизу: $f(-x_0) \ge m$.

Отсюда следует, что и $f(x_0) \ge m$.

Так как $x_0$ было выбрано произвольно из интервала $(-\infty, 0)$, это неравенство справедливо для любого $x < 0$. Следовательно, функция ограничена снизу на этом интервале (тем же числом $m$, что и на интервале $x>0$).

Ответ: да.