Номер 11.10, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.10 а) На рис. 47;

б) на рис. 48;

в) на рис. 49;

г) на рис. 50.

Рис. 47

Рис. 48

Рис. 49

Рис. 50

Проанализируем функцию, график которой изображен на рисунке 47, и перечислим ее основные свойства.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает значения от -1 до 1 включительно. $E(y) = [-1; 1]$.

3. Нули функции: график пересекает ось абсцисс в точке $(0;0)$, следовательно, $y=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

5. Монотонность:
Функция возрастает на отрезке $[-2; 2]$;
Функция является постоянной на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$.

6. Экстремумы:
Локальных экстремумов (точек максимума и минимума) у функции нет.
Наибольшее значение функции равно 1, достигается при $x \ge 2$.
Наименьшее значение функции равно -1, достигается при $x \le -2$.

7. Четность: функция является нечетной, так как ее график симметричен относительно начала координат ($f(-x) = -f(x)$).

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены выше. Аналитически функцию можно задать формулой: $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x \le -2 \\ \frac{1}{8}x^3, & \text{если } -2 < x < 2 \\ 1, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Проанализируем функцию, график которой изображен на рисунке 48, и перечислим ее основные свойства.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает все неотрицательные значения. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: график касается оси абсцисс в точке $(1;0)$, следовательно, $y=0$ при $x=1$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Функция не принимает отрицательных значений.

5. Монотонность:
Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; 1]$;
Функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

6. Экстремумы:
Точка минимума $x_{min}=1$, значение в точке минимума $y_{min}=0$. Это также глобальный минимум функции.
Локальных максимумов нет.

7. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

8. Непрерывность: функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$. На промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$ функция непрерывна.

Ответ: Свойства функции перечислены выше. Аналитически функцию можно задать формулой: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ (x-1)^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$. Функция имеет разрыв в точке $x=0$.

Проанализируем функцию, график которой изображен на рисунке 49. Это парабола с ветвями, направленными вниз.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает все неположительные значения. $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Нули функции: график касается оси абсцисс в точке $(0;0)$, следовательно, $y=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$;
Функция не принимает положительных значений.

5. Монотонность:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$;
Функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

6. Экстремумы:
Точка максимума $x_{max}=0$, значение в точке максимума $y_{max}=0$. Это также глобальный максимум функции.

7. Четность: функция является четной, так как ее график симметричен относительно оси ординат ($f(-x) = f(x)$).

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены выше. График является параболой, заданной уравнением $y = -x^2$.

Проанализируем функцию, график которой изображен на рисунке 50. Это прямая линия.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает все действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: график пересекает ось абсцисс в точке $(-1.5; 0)$, следовательно, $y=0$ при $x=-1.5$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (-1.5; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; -1.5)$.

5. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

6. Экстремумы: экстремумов (точек максимума и минимума) у функции нет.

7. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены выше. График является прямой, заданной уравнением $y = 2x + 3$.