Номер 11.6, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте на чётность функцию:

11.6 a) $y = x^2$;

б) $y = x^7$;

в) $y = x^6$;

г) $y = x^3$.

Для исследования функции на чётность необходимо проверить выполнение одного из двух условий для любого $x$ из области определения функции. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен принадлежать ей).
1. Функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
2. Функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция называется функцией общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).
Все представленные функции вида $y = x^n$ определены на всей числовой оси, то есть их область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.

а) $y = x^2$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^2$.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 = x^2$.
Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$. Так как $f(-x) = x^2$ и $f(x) = x^2$, то $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.
Ответ: чётная.

б) $y = x^7$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^7$.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^7 = -x^7$.
Сравниваем $f(-x)$ и $-f(x)$. Так как $f(-x) = -x^7$ и $-f(x) = -x^7$, то $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

в) $y = x^6$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^6$.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^6 = x^6$.
Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$. Так как $f(-x) = x^6$ и $f(x) = x^6$, то $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.
Ответ: чётная.

г) $y = x^3$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^3$.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.
Сравниваем $f(-x)$ и $-f(x)$. Так как $f(-x) = -x^3$ и $-f(x) = -x^3$, то $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.