Номер 11.1, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Является ли симметричным заданное множество:

11.1 а) $[-3; 3]$;

б) $(-\infty; +\infty)$;

в) $[-4; 1]$;

г) $[0; +\infty)$?

Множество $D$ называется симметричным относительно начала координат, если для любого элемента $x$, принадлежащего этому множеству, противоположный ему элемент $-x$ также принадлежит этому множеству. То есть, для симметричного множества должно выполняться условие: если $x \in D$, то и $-x \in D$.

а) Рассмотрим множество $[-3; 3]$.

Возьмем произвольное число $x$ из этого множества. Это означает, что выполняется двойное неравенство: $-3 \le x \le 3$.

Чтобы проверить, принадлежит ли множеству элемент $-x$, умножим все части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-3) \ge (-1) \cdot x \ge (-1) \cdot 3$

$3 \ge -x \ge -3$

Это неравенство эквивалентно записи $-3 \le -x \le 3$. Это означает, что число $-x$ также принадлежит множеству $[-3; 3]$.

Поскольку для любого $x \in [-3; 3]$ выполняется и условие $-x \in [-3; 3]$, данное множество является симметричным.

Ответ: да, является.

б) Рассмотрим множество $(-\infty; +\infty)$.

Это множество всех действительных чисел. Если взять любое действительное число $x$, то противоположное ему число $-x$ также является действительным числом. Следовательно, $-x$ также принадлежит множеству $(-\infty; +\infty)$.

Таким образом, для любого $x \in (-\infty; +\infty)$ выполняется условие $-x \in (-\infty; +\infty)$, и множество является симметричным.

Ответ: да, является.

в) Рассмотрим множество $[-4; 1]$.

Чтобы множество было симметричным, для каждого его элемента $x$ в множестве должен содержаться и элемент $-x$.

Проверим это условие. Возьмем, например, число $x = -4$, которое принадлежит множеству $[-4; 1]$. Противоположное ему число $-x = -(-4) = 4$.

Однако число $4$ не принадлежит множеству $[-4; 1]$, так как $4 > 1$.

Поскольку мы нашли элемент множества ($x=-4$), для которого противоположный элемент ($-x=4$) не принадлежит этому множеству, данное множество не является симметричным.

Ответ: нет, не является.

г) Рассмотрим множество $[0; +\infty)$.

Это множество всех неотрицательных чисел. Проверим условие симметричности.

Возьмем любое положительное число из этого множества, например, $x = 5$. Число $5 \in [0; +\infty)$.

Противоположное ему число $-x = -5$. Число $-5$ не принадлежит множеству $[0; +\infty)$, так как $-5 < 0$.

Условие симметричности не выполняется для любого положительного числа из этого множества (исключение составляет только $x=0$). Следовательно, данное множество не является симметричным.

Ответ: нет, не является.