Номер 11.4, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.4 Докажите, что функция является нечётной:

а) $y = x^2(2x - x^3)$;

б) $y = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$;

в) $y = x(5 - x^2)$;

г) $y = \frac{3x}{x^6 + 2}$.

а) Для функции $y = x^2(2x - x^3)$ необходимо доказать, что она является нечётной. Функция является нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Обозначим $f(x) = x^2(2x - x^3)$. Упростим выражение: $f(x) = 2x^3 - x^5$.
1. Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x)^3 - (-x)^5 = 2(-x^3) - (-x^5) = -2x^3 + x^5$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(2x^3 - x^5) = -2x^3 + x^5$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполнены, и функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

б) Для функции $y = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$ проверим выполнение условий нечётной функции.
Обозначим $f(x) = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$.
1. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $2x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^4 + 1}{2(-x)^3} = \frac{x^4 + 1}{2(-x^3)} = -\frac{x^4 + 1}{2x^3}$.
Сравнивая полученное выражение с $-f(x) = -(\frac{x^4 + 1}{2x^3})$, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

в) Для функции $y = x(5 - x^2)$ проверим выполнение условий нечётной функции.
Обозначим $f(x) = x(5 - x^2)$. Упростим выражение: $f(x) = 5x - x^3$.
1. Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 5(-x) - (-x)^3 = -5x - (-x^3) = -5x + x^3$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(5x - x^3) = -5x + x^3$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

г) Для функции $y = \frac{3x}{x^6 + 2}$ проверим выполнение условий нечётной функции.
Обозначим $f(x) = \frac{3x}{x^6 + 2}$.
1. Найдём область определения. Знаменатель $x^6 + 2$ всегда положителен, так как $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, и следовательно $x^6 + 2 \ge 2$. Знаменатель никогда не обращается в ноль. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^6 + 2} = \frac{-3x}{x^6 + 2} = -\frac{3x}{x^6 + 2}$.
Сравнивая полученное выражение с $-f(x) = -(\frac{3x}{x^6+2})$, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.