Номер 11.11, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.11 На рисунке построена ветвь графика функции $y = f(x)$. Постройте весь график этой функции, если известно, что:

a) $y = f(x)$ — чётная функция (рис. 51);

б) $y = f(x)$ — нечётная функция (рис. 52);

в) $y = f(x)$ — нечётная функция (рис. 53);

г) $y = f(x)$ — чётная функция (рис. 54).

Puc. 51

Puc. 52

Puc. 53

Puc. 54

а)

По определению, функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $y$).

На рисунке 51 показана ветвь графика для $x \in [-4, 0]$. Чтобы построить полный график, необходимо отразить эту ветвь симметрично относительно оси $y$. Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика будет соответствовать точке $(-x, y)$ на недостающей части.

Основные точки на данной ветви: $(-4, 0)$, $(-2, 4)$ и $(0, 0)$. При симметричном отражении относительно оси $y$:

• Точка $(-4, 0)$ переходит в точку $(4, 0)$.
• Точка $(-2, 4)$ переходит в точку $(2, 4)$.
• Точка $(0, 0)$ находится на оси симметрии и остается на месте.

Соединяем новые точки $(0, 0)$, $(2, 4)$ и $(4, 0)$ плавной кривой, аналогичной данной. В результате получается полный график функции, который симметричен относительно оси $y$.

Ответ: График функции дополняется ветвью, симметричной данной относительно оси $y$. Полный график состоит из двух параболических дуг, проходящих через ключевые точки: $(-4, 0)$, $(-2, 4)$, $(0, 0)$, $(2, 4)$ и $(4, 0)$.

б)

По определению, функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

На рисунке 52 показана ветвь графика для $x \in [0, 6]$. Чтобы построить полный график, нужно отразить эту ветвь симметрично относительно начала координат. Это эквивалентно повороту на 180° вокруг точки $(0, 0)$. Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика будет соответствовать точке $(-x, -y)$ на недостающей части.

Основные точки на данной ветви: $(0, 0)$, $(3, 3)$ и $(6, 0)$. При симметричном отражении относительно начала координат:

• Точка $(0, 0)$ находится в центре симметрии и остается на месте.
• Точка $(3, 3)$ переходит в точку $(-3, -3)$.
• Точка $(6, 0)$ переходит в точку $(-6, 0)$.

Соединяем новые точки $(-6, 0)$, $(-3, -3)$ и $(0, 0)$ плавной кривой. В результате получается полный график функции, который симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции дополняется ветвью, симметричной данной относительно начала координат. Ключевые точки полного графика: $(-6, 0)$, $(-3, -3)$, $(0, 0)$, $(3, 3)$ и $(6, 0)$.

в)

Функция $y = f(x)$ является нечётной, следовательно, её график симметричен относительно начала координат. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике точка $(-x, -y)$ также принадлежит графику.

На рисунке 53 показана ветвь графика для $x \in [-5, 0]$. Построим вторую ветвь графика для $x \ge 0$ путем симметричного отражения данной ветви относительно начала координат.

Основные точки на данной ветви: $(-5, 2)$, $(-4, 0)$, $(-2, -2)$ и $(0, 0)$. При симметричном отражении относительно начала координат:

• Точка $(-5, 2)$ переходит в точку $(5, -2)$.
• Точка $(-4, 0)$ переходит в точку $(4, 0)$.
• Точка $(-2, -2)$ переходит в точку $(2, 2)$.
• Точка $(0, 0)$ остается на месте.

Соединяем новые точки. Ветвь от $(0, 0)$ до $(4, 0)$ через $(2, 2)$ будет параболической дугой, а от $(4, 0)$ до $(5, -2)$ — отрезком прямой.

Ответ: График функции дополняется ветвью, симметричной данной относительно начала координат. Ключевые точки полного графика: $(-5, 2)$, $(-4, 0)$, $(-2, -2)$, $(0, 0)$, $(2, 2)$, $(4, 0)$ и $(5, -2)$.

г)

Функция $y = f(x)$ является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси $y$. Для построения полного графика необходимо отразить данную на рисунке 54 ветвь (для $x \ge 0$) относительно оси ординат.

Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика будет соответствовать точке $(-x, y)$ на недостающей части. Основные точки на данной ветви (состоящей из двух отрезков): $(0, 0)$, $(2, 2)$ и, судя по наклону и сетке, точка $(4,0)$ и конечная точка, например, $(6, -2)$.

При симметричном отражении относительно оси $y$:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте.
• Точка $(2, 2)$ переходит в точку $(-2, 2)$.
• Точка $(4, 0)$ переходит в точку $(-4, 0)$.
• Точка $(6, -2)$ переходит в точку $(-6, -2)$.

Строим недостающую часть графика, соединяя отрезками точки $(-6, -2)$, $(-2, 2)$ и $(0, 0)$. Полный график состоит из четырех отрезков и имеет форму, напоминающую букву W.

Ответ: График функции дополняется ветвью, симметричной данной относительно оси $y$. Полный график состоит из отрезков, соединяющих последовательно точки $(-6, -2)$, $(-2, 2)$, $(0, 0)$, $(2, 2)$ и $(6, -2)$.