Номер 11.18, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.18 $f(x) = \begin{cases} 2 + x, & \text{если } x < 0; \\ -2 - x, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Для полного анализа данной кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} 2 + x, & \text{если } x < 0; \\ -2 - x, & \text{если } x \geq 0. \end{cases}$ рассмотрим ее свойства по пунктам.

Область определения

Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как для $x < 0$ и для $x \geq 0$ заданы аналитические выражения (линейные функции), которые определены для любых $x$ из своих промежутков. Объединение этих промежутков $(-\infty, 0) \cup [0, \infty)$ дает всю числовую ось.
Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

Непрерывность и точки разрыва

На интервале $(-\infty, 0)$ функция $f(x) = 2+x$ является линейной и, следовательно, непрерывной. На полуинтервале $[0, +\infty)$ функция $f(x) = -2-x$ также является линейной и непрерывной. Исследуем точку $x=0$, где меняется аналитическое выражение функции. Найдем односторонние пределы в этой точке:
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2+x) = 2+0 = 2$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-2-x) = -2-0 = -2$.
Значение функции в точке $x=0$: $f(0) = -2-0 = -2$.
Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$), функция терпит разрыв в точке $x=0$. Поскольку оба односторонних предела конечны, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|2 - (-2)| = 4$.
Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Нули функции

Найдем значения $x$, при которых $f(x)=0$, рассмотрев каждый промежуток отдельно.
1. Если $x < 0$, решаем уравнение $2+x=0$. Получаем $x=-2$. Это значение удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является нулем функции.
2. Если $x \geq 0$, решаем уравнение $-2-x=0$. Получаем $x=-2$. Это значение не удовлетворяет условию $x \geq 0$, следовательно, на этом промежутке нулей нет.
Ответ: Функция имеет один нуль: $x=-2$.

Промежутки знакопостоянства

Нуль функции $x=-2$ и точка разрыва $x=0$ разбивают область определения на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $[0, +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.
- На интервале $(-\infty, -2)$: выберем пробную точку, например $x=-3$. Так как $-3 < 0$, используем формулу $f(x) = 2+x$. $f(-3) = 2+(-3) = -1 < 0$. Следовательно, $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -2)$.
- На интервале $(-2, 0)$: выберем пробную точку, например $x=-1$. Так как $-1 < 0$, $f(-1) = 2+(-1) = 1 > 0$. Следовательно, $f(x) > 0$ при $x \in (-2, 0)$.
- На промежутке $[0, +\infty)$: для любого $x \geq 0$ имеем $x \geq 0 \implies -x \leq 0 \implies -2-x \leq -2$. Таким образом, $f(x)$ на этом промежутке всегда отрицательна.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2, 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup [0, +\infty)$.

Промежутки монотонности и экстремумы

Найдем производную функции на интервалах непрерывности.
- При $x < 0$: $f(x) = 2+x$, тогда $f'(x) = 1$. Так как $f'(x) > 0$, функция строго возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.
- При $x > 0$: $f(x) = -2-x$, тогда $f'(x) = -1$. Так как $f'(x) < 0$, функция строго убывает на интервале $(0, +\infty)$.
В точке $x=0$ производная не существует, так как функция в этой точке разрывна. Поскольку слева от $x=0$ функция возрастает, а справа убывает, можно было бы предположить наличие точки максимума. Однако из-за разрыва экстремума в точке $x=0$ нет. В любой окрестности точки $x=0$ найдутся значения $x$ (например, $x=-0.01$), для которых $f(x) = f(-0.01) = 1.99$, что больше $f(0)=-2$. Следовательно, локального максимума в точке $x=0$ нет. Других критических точек нет.
Ответ: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0)$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$. Точек экстремума у функции нет.

Область значений

Определим множество всех значений, которые может принимать функция $y=f(x)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, функция $f(x)=2+x$ возрастает. Когда $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$. Когда $x \to 0^-$, $f(x) \to 2$. Таким образом, на этом интервале значения функции заполняют промежуток $(-\infty, 2)$.
- При $x \in [0, +\infty)$, функция $f(x)=-2-x$ убывает. Максимальное значение на этом промежутке достигается в точке $x=0$ и равно $f(0)=-2$. Когда $x \to +\infty$, $f(x) \to -\infty$. Таким образом, на этом промежутке значения функции заполняют промежуток $(-\infty, -2]$.
Область значений всей функции является объединением этих двух множеств: $(-\infty, 2) \cup (-\infty, -2] = (-\infty, 2)$.
Ответ: Область значений функции $E(f) = (-\infty, 2)$.

Построение графика

График функции состоит из двух лучей.
- Для $x < 0$ строим график прямой $y=2+x$. Это луч, который проходит через точку $(-2,0)$ (пересечение с осью Ox) и подходит к точке $(0,2)$. Сама точка $(0,2)$ на графике выколота (не принадлежит графику), так как неравенство $x<0$ строгое.
- Для $x \geq 0$ строим график прямой $y=-2-x$. Это луч, который начинается в точке $(0,-2)$ (эта точка закрашена, так как принадлежит графику) и уходит вниз при увеличении $x$.
Ответ: График функции состоит из двух лучей: луча прямой $y=2+x$ на интервале $(-\infty, 0)$ и луча прямой $y=-2-x$ на промежутке $[0, +\infty)$. В точке $x=0$ график имеет скачок от значения $2$ (недостижимого) к значению $-2$.