Номер 11.25, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.25 $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le -1; \\ -2x^3 - 1, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ -2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Для детального решения задачи проанализируем заданную кусочно-непрерывную функцию по пунктам.

а) Область определения функции.

Функция определена на трех участках, которые вместе покрывают всю числовую ось:

• при $x \le -1$, то есть на интервале $(-\infty, -1]$;
• при $-1 < x \le 1$, то есть на интервале $(-1, 1]$;
• при $x > 1$, то есть на интервале $(1, +\infty)$.

Объединение этих интервалов дает множество всех действительных чисел.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Непрерывность и точки разрыва.

На каждом из интервалов $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$ функция задана элементарными непрерывными функциями ($y=2$, $y=-2x^3-1$, $y=-2$). Исследуем поведение функции в точках стыка $x=-1$ и $x=1$.

Для точки $x=-1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to -1-0} y(x) = \lim_{x \to -1-0} 2 = 2$.
• Значение функции в точке: $y(-1) = 2$ (согласно условию $x \le -1$).
• Предел справа: $\lim_{x \to -1+0} y(x) = \lim_{x \to -1+0} (-2x^3 - 1) = -2(-1)^3 - 1 = 2 - 1 = 1$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($2 \neq 1$), в точке $x=-1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Для точки $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1-0} y(x) = \lim_{x \to 1-0} (-2x^3 - 1) = -2(1)^3 - 1 = -2 - 1 = -3$.
• Значение функции в точке: $y(1) = -3$ (согласно условию $-1 < x \le 1$).
• Предел справа: $\lim_{x \to 1+0} y(x) = \lim_{x \to 1+0} (-2) = -2$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($-3 \neq -2$), в точке $x=1$ функция также имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция непрерывна на объединении интервалов $(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$. Точки $x=-1$ и $x=1$ являются точками разрыва первого рода.

в) Промежутки монотонности и экстремумы.

Исследуем поведение функции на каждом участке:

• На интервале $(-\infty, -1]$: $y(x) = 2$. Функция постоянна.
• На интервале $(-1, 1]$: $y(x) = -2x^3 - 1$. Найдем производную: $y'(x) = (-2x^3 - 1)' = -6x^2$. Так как $y'(x) = -6x^2 \le 0$ для всех $x$ из этого интервала (равенство достигается только в точке $x=0$), функция убывает на всем интервале $(-1, 1]$.
• На интервале $(1, +\infty)$: $y(x) = -2$. Функция постоянна.

Поскольку функция не меняет характер монотонности (с возрастания на убывание или наоборот), у нее нет точек экстремума (максимума или минимума). Точка $x=0$, где производная равна нулю, является точкой перегиба, а не экстремумом.

Ответ: Функция постоянна на $(-\infty, -1]$ и $(1, +\infty)$, убывает на $(-1, 1]$. Точек экстремума у функции нет.

г) Область значений функции.

Найдем множество всех значений, которые принимает функция $y$.

• При $x \le -1$, значение функции $y=2$.
• При $-1 < x \le 1$, функция непрерывна и убывает. Значение на левой границе (недостижимое) равно $\lim_{x \to -1+0} y(x) = 1$. Значение на правой границе (достижимое) $y(1) = -3$. Таким образом, на этом участке функция принимает все значения из полуинтервала $[-3, 1)$.
• При $x > 1$, значение функции $y=-2$.

Объединим все полученные значения: $\{2\} \cup [-3, 1) \cup \{-2\}$. Заметим, что значение $-2$ содержится в полуинтервале $[-3, 1)$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-3, 1) \cup \{2\}$.

д) Построение графика.

Основываясь на проведенном анализе, строим график функции:

1. Для $x \le -1$ чертим горизонтальный луч $y=2$. Точка $(-1, 2)$ принадлежит графику (закрашена).
2. Для $-1 < x \le 1$ строим график кубической функции $y=-2x^3 - 1$. Он соединяет выколотую точку $(-1, 1)$ и закрашенную точку $(1, -3)$. График проходит через точку $(0, -1)$, где у него горизонтальная касательная.
3. Для $x > 1$ чертим горизонтальный луч $y=-2$. Точка $(1, -2)$ не принадлежит графику (выколота).

График представляет собой три отдельных куска с разрывами в точках $x=-1$ и $x=1$.

Ответ: График функции состоит из горизонтального луча $y=2$ на $(-\infty, -1]$, участка убывающей кубической параболы $y=-2x^3-1$ на $(-1, 1]$ и горизонтального луча $y=-2$ на $(1, +\infty)$. В точках $x=-1$ и $x=1$ имеются разрывы первого рода.