Номер 11.30, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.30 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2, \text{ если } x \le 0; \\ h(x), \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Задайте, если это возможно, $h(x)$ так, чтобы функция $y = f(x)$:

а) являлась чётной;

б) являлась нечётной.

а) являлась чётной;
Функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения данной функции — все действительные числа, она симметрична относительно нуля.
Мы ищем функцию $h(x)$ для $x > 0$.
Возьмём произвольное $x > 0$. Тогда $-x < 0$.
По определению функции $f(x)$:
При $x > 0$, значение функции равно $f(x) = h(x)$.
При $-x \le 0$, значение функции равно $f(-x) = 1 + (-x)^2 = 1 + x^2$.
Чтобы функция $f(x)$ была чётной, должно выполняться условие $f(x) = f(-x)$. Подставим найденные выражения:
$h(x) = 1 + x^2$.
Это равенство должно выполняться для всех $x > 0$. Таким образом, мы нашли искомую функцию $h(x)$.
Итоговая функция $f(x)$ будет иметь вид: $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2, \text{ если } x \le 0; \\ 1 + x^2, \text{ если } x > 0. \end{cases}$
Это функция $f(x) = 1 + x^2$, которая является чётной.
Ответ: $h(x) = 1 + x^2$.

б) являлась нечётной.
Функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Для нечётной функции, определённой в точке $x = 0$, должно выполняться условие $f(0) = 0$. Это следует из основного определения: $f(-0) = -f(0)$, что равносильно $f(0) = -f(0)$, откуда $2f(0) = 0$ и, следовательно, $f(0) = 0$.
Проверим значение данной нам функции $f(x)$ в точке $x = 0$. Согласно условию, при $x \le 0$ функция задана как $f(x) = 1 + x^2$.
Вычисляем $f(0)$:
$f(0) = 1 + 0^2 = 1$.
Поскольку $f(0) = 1 \ne 0$, необходимое условие для нечётности функции не выполняется. Функция $h(x)$ определена только для $x > 0$ и не может повлиять на значение функции в точке $x=0$.
Следовательно, невозможно задать $h(x)$ так, чтобы функция $y = f(x)$ была нечётной.
Ответ: Невозможно.