Номер 11.29, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.29 Дана функция $y=f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 3 - 2x^2, \text{ если } x > 0; \\ h(x), \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$ так, чтобы функция $y=f(x)$:

а) являлась чётной;

б) являлась нечётной.

а) являлась чётной
По определению, функция $y=f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Нам необходимо задать функцию $h(x)$ для $x < 0$.
Возьмём любое значение $x$ из интервала $(-\infty; 0)$, то есть $x < 0$. Для такого $x$ значение $-x$ будет положительным, то есть $-x > 0$.
Согласно определению функции $f(x)$:
При $x < 0$, имеем $f(x) = h(x)$.
При $-x > 0$, имеем $f(-x) = 3 - 2(-x)^2 = 3 - 2x^2$.
Чтобы функция $f(x)$ была чётной, должно выполняться условие $f(x) = f(-x)$. Следовательно, мы должны приравнять выражения для $f(x)$ и $f(-x)$:
$h(x) = 3 - 2x^2$.
Это и есть искомая функция для $x < 0$.
Ответ: $h(x) = 3 - 2x^2$.

б) являлась нечётной
По определению, функция $y=f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Как и в предыдущем пункте, возьмём любое значение $x < 0$. Тогда $-x > 0$.
При $x < 0$, имеем $f(x) = h(x)$.
При $-x > 0$, имеем $f(-x) = 3 - 2(-x)^2 = 3 - 2x^2$.
Чтобы функция $f(x)$ была нечётной, должно выполняться условие $f(x) = -f(-x)$. Подставим наши выражения:
$h(x) = -(3 - 2x^2)$
Раскроем скобки:
$h(x) = -3 + 2x^2$ или $h(x) = 2x^2 - 3$.
Это и есть искомая функция для $x < 0$.
Ответ: $h(x) = 2x^2 - 3$.