Номер 11.33, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.33 a) $y = \sqrt{|x|};$

б) $y = -\sqrt{|x|} + 2;$

В) $y = -\sqrt{|x|};$

Г) $y = \sqrt{|x|} - 3.$

а) $y = \sqrt{|x|}$

Это функция, построенная на основе базовой функции квадратного корня. Разберем ее свойства и построим график.

1. Область определения: Выражение под корнем $|x|$ должно быть неотрицательным. Модуль любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), поэтому функция определена для всех действительных чисел. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Арифметический квадратный корень всегда дает неотрицательный результат. Минимальное значение $|x|$ равно 0 (при $x=0$), значит минимальное значение $y$ равно $\sqrt{0}=0$. С ростом $|x|$ значение $y$ неограниченно возрастает. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Четность: Проверим функцию на четность. $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. Поскольку $y(-x)=y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

4. Построение графика: Так как функция четная, достаточно построить ее для $x \ge 0$ и затем отразить полученную часть симметрично относительно оси OY. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y=\sqrt{x}$. Это известная функция, график которой — ветвь параболы, выходящая из начала координат. Найдем несколько точек: (0, 0), (1, 1), (4, 2). Построив эту ветвь и отразив ее относительно оси OY, получим вторую ветвь для $x < 0$. График состоит из двух ветвей, выходящих из точки (0,0) и направленных вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY и выходящих из точки (0, 0). Для $x \ge 0$ график совпадает с $y=\sqrt{x}$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$. Функция четная.

б) $y = -\sqrt{|x|} + 2$

График этой функции можно получить из графика функции $y = -\sqrt{|x|}$ (см. пункт в) путем сдвига вверх на 2 единицы.

1. Получение графика:

• Начнем с графика $y = \sqrt{|x|}$ (из пункта а).
• Отразим его симметрично относительно оси абсцисс (OX), чтобы получить график $y = -\sqrt{|x|}$. Его ветви будут направлены вниз из точки (0,0).
• Сдвинем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (OY).

2. Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{|x|} \ge 0$, то $-\sqrt{|x|} \le 0$. Следовательно, $-\sqrt{|x|} + 2 \le 2$. Область значений $E(y) = (-\infty; 2]$.
• Четность: $y(-x) = -\sqrt{|-x|} + 2 = -\sqrt{|x|} + 2 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Вершина: Максимальное значение достигается в точке $x=0$, $y(0) = -\sqrt{|0|} + 2 = 2$. Вершина графика находится в точке (0, 2).
• Нули функции (пересечение с OX): $-\sqrt{|x|} + 2 = 0 \implies \sqrt{|x|} = 2 \implies |x| = 4 \implies x = \pm 4$. Точки пересечения с осью OX: (4, 0) и (-4, 0).

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{|x|}$, отраженный относительно оси OX и сдвинутый на 2 единицы вверх по оси OY. Вершина графика в точке (0, 2), ветви направлены вниз. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 2]$. Функция четная.

в) $y = -\sqrt{|x|}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{|x|}$ (пункт а) путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (OX).

1. Свойства функции:

• Область определения: Как и у $y = \sqrt{|x|}$, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Поскольку $\sqrt{|x|} \ge 0$, то $-\sqrt{|x|} \le 0$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Четность: $y(-x) = -\sqrt{|-x|} = -\sqrt{|x|} = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Вершина: Максимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$. Вершина графика находится в точке (0, 0).

2. Построение графика: График полностью аналогичен графику из пункта а), но его ветви направлены не вверх, а вниз.

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{|x|}$, отраженный относительно оси OX. Вершина графика в точке (0, 0), ветви направлены вниз. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0]$. Функция четная.

г) $y = \sqrt{|x|} - 3$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{|x|}$ (пункт а) путем сдвига вниз на 3 единицы.

1. Получение графика: Берем график $y = \sqrt{|x|}$ и сдвигаем его на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (OY).

2. Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{|x|} \ge 0$, то $\sqrt{|x|} - 3 \ge -3$. Область значений $E(y) = [-3; +\infty)$.
• Четность: $y(-x) = \sqrt{|-x|} - 3 = \sqrt{|x|} - 3 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Вершина: Минимальное значение достигается в точке $x=0$, $y(0) = \sqrt{|0|} - 3 = -3$. Вершина графика находится в точке (0, -3).
• Нули функции (пересечение с OX): $\sqrt{|x|} - 3 = 0 \implies \sqrt{|x|} = 3 \implies |x| = 9 \implies x = \pm 9$. Точки пересечения с осью OX: (9, 0) и (-9, 0).

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{|x|}$, сдвинутый на 3 единицы вниз по оси OY. Вершина графика в точке (0, -3), ветви направлены вверх. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-3; +\infty)$. Функция четная.