Номер 12.2, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.2 Постройте график функции $y = f(x)$, где $f(x) = (x+2)^3 - 1$. С помощью графика найдите:

а) $f(-1)$, $f(-3)$, $f(0)$;

б) корень уравнения $f(x) = -9$;

в) решение неравенства $f(x) < 0$;

г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 0]$.

Для построения графика функции $f(x) = (x+2)^3 - 1$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = x^3$.

1. Сначала строим график функции $y=x^3$.

2. Затем сдвигаем его на 2 единицы влево вдоль оси Ox, чтобы получить график функции $y=(x+2)^3$.

3. Наконец, сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график функции $f(x) = (x+2)^3 - 1$.

В результате этих преобразований центр симметрии графика, который для $y=x^3$ находился в точке $(0,0)$, сместится в точку $(-2, -1)$.

Для более точного построения графика найдем несколько ключевых точек, составив таблицу значений:

График функции — это возрастающая на всей области определения кривая (кубическая парабола), проходящая через вычисленные точки.

а) $f(-1), f(-3), f(0)$

Чтобы найти значения функции с помощью графика, нужно найти на оси абсцисс (Ox) точки $x = -1, x = -3, x = 0$ и определить, какие значения ординат (y) им соответствуют на графике.

• Для $x=-1$ находим на графике точку $(-1, 0)$. Следовательно, $f(-1) = 0$.
• Для $x=-3$ находим на графике точку $(-3, -2)$. Следовательно, $f(-3) = -2$.
• Для $x=0$ находим на графике точку $(0, 7)$. Следовательно, $f(0) = 7$.

Ответ: $f(-1) = 0, f(-3) = -2, f(0) = 7$.

б) корень уравнения $f(x) = -9$

Найти корень уравнения $f(x) = -9$ графически — значит найти абсциссу точки пересечения графика функции $y=f(x)$ и прямой $y=-9$. Из таблицы значений и по графику видно, что $y=-9$ при $x=-4$.

Проверим аналитически:
$(x+2)^3 - 1 = -9$
$(x+2)^3 = -8$
$x+2 = \sqrt[3]{-8}$
$x+2 = -2$
$x = -4$

Ответ: $x = -4$.

в) решение неравенства $f(x) < 0$

Решить неравенство $f(x) < 0$ графически — значит найти промежутки оси Ox, на которых график функции расположен ниже этой оси. График пересекает ось Ox в точке $x = -1$ (так как $f(-1)=0$). Левее этой точки значения функции отрицательны (график лежит ниже оси Ox).

Следовательно, неравенство выполняется при $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 0]$

Рассмотрим поведение функции на отрезке $[-3; 0]$. Так как функция $f(x)=(x+2)^3 - 1$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, ее наименьшее значение на отрезке будет достигаться в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.

Наименьшее значение на отрезке: $y_{наим} = f(-3) = -2$.

Наибольшее значение на отрезке: $y_{наиб} = f(0) = 7$.

Это хорошо видно на графике: самая низкая точка на данном отрезке — это $(-3, -2)$, а самая высокая — $(0, 7)$.

Ответ: наименьшее значение равно -2 (при $x=-3$), наибольшее значение равно 7 (при $x=0$).