Номер 12.9, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

12.9 a) $y = x^6$;

б) $y = -x^{10}$;

в) $y = x^8$;

г) $y = x^{12}$.

а) $y=x^6$;

Построение графика:

График функции $y=x^6$ является степенной функцией с четным показателем. Он имеет форму, схожую с параболой $y=x^2$, но является более "плоским" вблизи начала координат (в интервале $(-1, 1)$) и возрастает значительно круче при $|x| > 1$. График симметричен относительно оси ординат (OY).

Для построения найдем несколько контрольных точек:

• При $x=0$, $y=0^6=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=1^6=1$. Точка $(1; 1)$.
• При $x=-1$, $y=(-1)^6=1$. Точка $(-1; 1)$.
• При $x=2$, $y=2^6=64$. Точка $(2; 64)$.
• При $x=0.5$, $y=(0.5)^6 = 1/64 \approx 0.016$. Точка $(0.5; 1/64)$.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные действительные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: функция имеет точку минимума в $(0; 0)$. $y_{min} = 0$ при $x=0$. Максимума у функции нет.

Ответ: График функции — U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки $(-1; 1), (0; 0), (1; 1)$. Область определения - $(-\infty; +\infty)$. Область значений - $[0; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка минимума $(0;0)$.

б) $y=-x^{10}$;

Построение графика:

График функции $y=-x^{10}$ получается из графика $y=x^{10}$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (OX). Это кривая с ветвями, направленными вниз, симметричная относительно оси OY. По сравнению с параболой $y=-x^2$, график $y=-x^{10}$ более "плоский" около нуля и убывает гораздо быстрее при $|x|>1$.

Контрольные точки:

• При $x=0$, $y=-0^{10}=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=-1^{10}=-1$. Точка $(1; -1)$.
• При $x=-1$, $y=-(-1)^{10}=-1$. Точка $(-1; -1)$.
• При $x=1.2$, $y=-(1.2)^{10} \approx -6.19$. Точка $(1.2; -6.19)$.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неположительные действительные числа, $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^{10} = -x^{10} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. Точка пересечения с осями — $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: функция имеет точку максимума в $(0; 0)$. $y_{max} = 0$ при $x=0$. Минимума у функции нет.

Ответ: График функции — перевернутая U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки $(-1; -1), (0; 0), (1; -1)$. Область определения - $(-\infty; +\infty)$. Область значений - $(-\infty; 0]$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$. Точка максимума $(0;0)$.

в) $y=x^8$;

Построение графика:

График функции $y=x^8$ аналогичен графику $y=x^6$, это степенная функция с четным показателем. Кривая симметрична относительно оси OY. Так как показатель степени 8 больше 6, график $y=x^8$ будет еще более плоским, чем $y=x^6$, в интервале $(-1, 1)$ и будет расти еще быстрее при $|x|>1$.

Контрольные точки:

• При $x=0$, $y=0^8=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=1^8=1$. Точка $(1; 1)$.
• При $x=-1$, $y=(-1)^8=1$. Точка $(-1; 1)$.
• При $x=1.5$, $y=(1.5)^8 \approx 25.6$. Точка $(1.5; 25.6)$.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = (-x)^8 = x^8 = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. Точка $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq 0$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка минимума $(0; 0)$. $y_{min} = 0$. Максимума нет.

Ответ: График функции — U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки $(-1; 1), (0; 0), (1; 1)$. Область определения - $(-\infty; +\infty)$. Область значений - $[0; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка минимума $(0;0)$.

г) $y=x^{12}$.

Построение графика:

График функции $y=x^{12}$ также является степенной функцией с четным показателем. Его свойства аналогичны свойствам функций $y=x^6$ и $y=x^8$. Показатель 12 — самый большой из представленных, поэтому этот график будет наиболее "сплюснутым" у дна в интервале $(-1, 1)$ и будет иметь самый крутой подъем при $|x|>1$.

Контрольные точки:

• При $x=0$, $y=0^{12}=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=1^{12}=1$. Точка $(1; 1)$.
• При $x=-1$, $y=(-1)^{12}=1$. Точка $(-1; 1)$.
• При $x=1.2$, $y=(1.2)^{12} \approx 8.9$. Точка $(1.2; 8.9)$.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = (-x)^{12} = x^{12} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. Точка $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq 0$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка минимума $(0; 0)$. $y_{min} = 0$. Максимума нет.

Ответ: График функции — U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки $(-1; 1), (0; 0), (1; 1)$. Область определения - $(-\infty; +\infty)$. Область значений - $[0; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка минимума $(0;0)$.