Номер 12.16, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите графически уравнение:

12.16 a) $x^6 = -\frac{1}{x}$;

б) $x^5 = \frac{1}{x}$;

в) $x^4 = 1$;

г) $x^7 = x$.

Для графического решения уравнения $x^6 = -\frac{1}{x}$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^6$ и $y = -\frac{1}{x}$.

График функции $y = x^6$ — это степенная функция с четным показателем. Ее график симметричен относительно оси OY и проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, 1). Значения функции всегда неотрицательны ($y \ge 0$).

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Найдем точки пересечения этих графиков.
При $x > 0$ имеем $x^6 > 0$, а $-\frac{1}{x} < 0$, поэтому в правой полуплоскости графики не пересекаются.
При $x < 0$ обе функции принимают положительные значения. Выполним проверку для $x = -1$:
$y = (-1)^6 = 1$
$y = -\frac{1}{-1} = 1$
Поскольку значения $y$ совпали, графики пересекаются в точке $(-1, 1)$. Это единственная точка пересечения, так как на промежутке $(-\infty; 0)$ обе функции ($y=x^6$ и $y = -\frac{1}{x}$) убывают, но с разной скоростью, и проверка показывает, что пересечение одно.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения.

Ответ: $x = -1$.

Чтобы решить уравнение $x^5 = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^5$ и $y = \frac{1}{x}$.

График функции $y = x^5$ — это степенная функция с нечетным показателем, ее график симметричен относительно начала координат и проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, -1).

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

Найдем абсциссы точек пересечения графиков.
В первой четверти ($x > 0$) проверим точку $x=1$:
$y = 1^5 = 1$
$y = \frac{1}{1} = 1$
Графики пересекаются в точке $(1, 1)$.
В третьей четверти ($x < 0$) проверим точку $x=-1$:
$y = (-1)^5 = -1$
$y = \frac{1}{-1} = -1$
Графики пересекаются в точке $(-1, -1)$.

Уравнение имеет два корня, которые являются абсциссами точек пересечения.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Для решения уравнения $x^4 = 1$ графически, построим графики функций $y = x^4$ и $y = 1$.

График функции $y = x^4$ — это парабола четной степени, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, 1).

График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0, 1).

Прямая $y=1$ пересекает график $y=x^4$ в двух точках. Найдем их абсциссы.
При $x = 1$, $y = 1^4 = 1$. Точка пересечения (1, 1).
При $x = -1$, $y = (-1)^4 = 1$. Точка пересечения (-1, 1).

Решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Чтобы решить уравнение $x^7 = x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^7$ и $y = x$.

График функции $y = x^7$ — это степенная функция с нечетным показателем, симметричная относительно начала координат. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, -1).

График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

Найдем точки пересечения этих двух графиков.
Очевидно, что графики проходят через общие точки, что можно проверить подстановкой:
При $x = 0$: $y = 0^7 = 0$ и $y = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1$: $y = 1^7 = 1$ и $y = 1$. Точка (1, 1).
При $x = -1$: $y = (-1)^7 = -1$ и $y = -1$. Точка (-1, -1).

Эти три точки являются единственными точками пересечения. Решениями уравнения являются их абсциссы.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.