Номер 12.21, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.21 Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^4, \text{ если } x < 0; \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sqrt{-x}, \text{ если } x < 0; \\ x^5, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} x^6, \text{ если } x \le 1; \\ \frac{1}{x}, \text{ если } x > 1; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} x^7, \text{ если } x < -1; \\ -2 - x, \text{ если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$

а) $ y = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

Построение графика:

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty; 0)$ график совпадает с графиком функции $y=x^4$. Это левая ветвь степенной функции, похожей на параболу, но с более крутыми ветвями. График проходит через точки $(-1, 1)$, $(-2, 16)$ и стремится к точке $(0, 0)$ при $x$, стремящемся к нулю слева.

2. На промежутке $[0; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=\sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

В точке $x=0$ функция непрерывна, так как предел слева $\lim_{x \to 0^-} x^4 = 0$ и значение функции в точке $y(0) = \sqrt{0} = 0$ совпадают. Таким образом, две части графика соединяются в начале координат.

Свойства функции (чтение графика):

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Точки экстремума: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = y(0) = 0$.

Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как, например, $y(-2) = 16$, а $y(2) = \sqrt{2}$.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции состоит из левой ветви функции $y=x^4$ и графика функции $y=\sqrt{x}$, соединенных в точке $(0,0)$. Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$. Функция имеет точку минимума $(0,0)$.

б) $ y = \begin{cases} \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \\ x^5, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty; 0)$ график совпадает с графиком функции $y=\sqrt{-x}$. Этот график симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Oy$. Он проходит через точки $(-1, 1)$, $(-4, 2)$ и стремится к точке $(0, 0)$.

2. На промежутке $[0; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=x^5$. Это правая ветвь степенной функции с нечетным показателем. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(2, 32)$, возрастая очень быстро.

Функция непрерывна в точке $x=0$, поскольку $\lim_{x \to 0^-} \sqrt{-x} = 0$ и $y(0) = 0^5 = 0$. Части графика соединяются в начале координат.

Свойства функции (чтение графика):

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Точки экстремума: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = y(0) = 0$.

Четность/нечетность: функция общего вида. Например, $y(-1) = 1$ и $y(1) = 1$, но $y(-4) = 2$, а $y(4) = 4^5 = 1024$.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции состоит из графика $y=\sqrt{-x}$ для $x<0$ и правой ветви $y=x^5$ для $x \ge 0$. Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$. Точка минимума $(0,0)$.

в) $ y = \begin{cases} x^6, & \text{если } x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases} $

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty; 1]$ график совпадает с графиком функции $y=x^6$. Это степенная функция, проходящая через точки $(0, 0)$, $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

2. На промежутке $(1; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=\frac{1}{x}$. Это часть гиперболы в первой четверти. При $x \to 1^+$ значение $y \to 1$. График проходит через точки $(2, 1/2)$, $(4, 1/4)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.

Функция непрерывна в точке $x=1$, так как $y(1) = 1^6 = 1$ и $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$. Части графика соединяются в точке $(1, 1)$.

Свойства функции (чтение графика):

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и на $(1; +\infty)$; возрастает на $[0; 1]$.

Точки экстремума: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = 0$; $x=1$ — точка максимума, $y_{max} = 1$.

Четность/нечетность: функция общего вида. Например, $y(-2) = (-2)^6=64$, а $y(2)=1/2$.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График состоит из части кривой $y=x^6$ при $x \le 1$ и части гиперболы $y=1/x$ при $x>1$. Функция имеет точку минимума $(0,0)$ и точку максимума $(1,1)$.

г) $ y = \begin{cases} x^7, & \text{если } x < -1 \\ -2-x, & \text{если } -1 \le x \le 2 \end{cases} $

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty; -1)$ график совпадает с левой ветвью функции $y=x^7$. Это кривая, проходящая через третью координатную четверть. При $x \to -1^-$ значение $y \to (-1)^7 = -1$. Точка $(-2, -128)$ лежит на этой части графика.

2. На отрезке $[-1; 2]$ график является отрезком прямой $y=-2-x$. Это прямая с угловым коэффициентом $-1$. Концевые точки отрезка: $y(-1)=-2-(-1)=-1$ (точка $(-1,-1)$) и $y(2)=-2-2=-4$ (точка $(2,-4)$).

Функция непрерывна в точке $x=-1$, так как $\lim_{x \to -1^-} x^7 = -1$ и $y(-1) = -1$. Части графика соединяются в точке $(-1, -1)$.

Свойства функции (чтение графика):

Область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$.

Область значений: На $(-\infty; -1)$ значения функции от $-\infty$ до $-1$. На $[-1; 2]$ значения от $-4$ до $-1$. Объединяя, получаем $E(y) = (-\infty; -1]$.

Нули функции: нет, так как $y \le -1$ для всех $x$ из области определения.

Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ на всей области определения $(-\infty; 2]$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и убывает на $[-1; 2]$.

Точки экстремума: $x=-1$ — точка максимума, $y_{max} = -1$. Глобального минимума нет. На правом конце области определения в точке $x=2$ достигается локальный минимум $y(2)=-4$.

Четность/нечетность: функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно нуля.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График состоит из части кривой $y=x^7$ при $x<-1$ и отрезка прямой $y=-2-x$ от $x=-1$ до $x=2$. Область определения $(-\infty; 2]$, область значений $(-\infty; -1]$. Функция имеет точку максимума $(-1, -1)$.