Номер 12.19, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Определите число решений системы уравнений:

12.19 а)

$\begin{cases} y = x^8, \\ y = x + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^5, \\ y = 5 - 3x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^6, \\ y = -3 + 2x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^7, \\ y = -x + 4. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^8 \\ y = x + 1 \end{cases} $

Число решений данной системы соответствует количеству точек пересечения графиков функций $y = x^8$ и $y = x + 1$. Для нахождения этих точек приравняем правые части уравнений: $x^8 = x + 1$.

Проанализируем графики функций. График $y = x^8$ — это степенная функция с четным показателем, симметричная относительно оси OY, похожая на параболу, но с более "плоским" дном и крутыми ветвями. График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

График $y = x + 1$ — это прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

Чтобы определить число решений, исследуем функцию $f(x) = x^8 - x - 1$.

1. Для $x < 0$. Возьмем значения на концах интервала, где может быть решение. При $x = -1$, $f(-1) = (-1)^8 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$. При $x = 0$, $f(0) = -1 < 0$. Так как функция $f(x)$ непрерывна и меняет знак на интервале $(-1, 0)$, на этом интервале есть хотя бы один корень. Производная $f'(x) = 8x^7 - 1$ для всех $x < 0$ отрицательна ($x^7 < 0$), значит, функция $f(x)$ на этом промежутке монотонно убывает, и корень может быть только один.

2. Для $x > 0$. Возьмем значения. При $x = 1$, $f(1) = 1^8 - 1 - 1 = -1 < 0$. При $x = 2$, $f(2) = 2^8 - 2 - 1 = 256 - 3 = 253 > 0$. Так как функция $f(x)$ непрерывна и меняет знак на интервале $(1, 2)$, на этом интервале есть хотя бы один корень. Производная $f'(x) = 8x^7 - 1$ положительна при $x > \sqrt[7]{1/8}$, т.е. при $x > (1/2)^{3/7}$. Так как $(1/2)^{3/7} < 1$, на интервале $(1, 2)$ функция монотонно возрастает, следовательно, корень единственный.

Итак, есть два корня: один отрицательный и один положительный. Значит, система имеет два решения.

Ответ: 2.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^5 \\ y = 5 - 3x \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = x^5$ и $y = 5 - 3x$.

Функция $y = x^5$ — степенная с нечетным показателем. Ее производная $y' = 5x^4 \ge 0$, значит, функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

Функция $y = 5 - 3x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $(-3)$, поэтому она является монотонно убывающей.

Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы проверить, есть ли пересечение, рассмотрим уравнение $x^5 = 5 - 3x$, или $f(x) = x^5 + 3x - 5 = 0$.

Найдем значения функции в некоторых точках: $f(1) = 1+3-5 = -1 < 0$ и $f(2) = 32+6-5 = 33 > 0$. Поскольку функция непрерывна и меняет знак на интервале $(1, 2)$, на этом интервале существует корень. Так как функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций ($x^5$ и $3x$) и константы, она строго возрастает, а значит корень единственный.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^6 \\ y = -3 + 2x \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = x^6$ и $y = 2x - 3$.

Функция $y = x^6$ принимает только неотрицательные значения ($y \ge 0$).

Функция $y = 2x - 3$ принимает неотрицательные значения только при $2x - 3 \ge 0$, то есть при $x \ge 1.5$. Таким образом, решения могут существовать только в области, где $x \ge 1.5$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^6 - (2x - 3) = x^6 - 2x + 3$. Нам нужно найти число нулей этой функции. Найдем ее наименьшее значение с помощью производной:

$f'(x) = 6x^5 - 2$.

Приравняем производную к нулю: $6x^5 - 2 = 0 \implies x^5 = 1/3 \implies x_0 = \sqrt[5]{1/3}$. Это точка минимума.

Значение функции в этой точке:

$f(x_0) = (\sqrt[5]{1/3})^6 - 2\sqrt[5]{1/3} + 3 = (1/3)\cdot(1/3)^{1/5} - 2\cdot(1/3)^{1/5} + 3 = 3 - (2 - 1/3)(1/3)^{1/5} = 3 - \frac{5}{3}\sqrt[5]{\frac{1}{3}}$.

Оценим это значение. Сравним $3$ и $\frac{5}{3}\sqrt[5]{\frac{1}{3}}$. Возведем обе части предполагаемого неравенства $3 > \frac{5}{3}\sqrt[5]{\frac{1}{3}}$ в пятую степень после преобразования: $9/5 > \sqrt[5]{1/3} \implies (9/5)^5 > 1/3$.

$(1.8)^5 = 18.89568$, что, очевидно, больше $1/3$. Значит, $f(x_0) > 0$.

Минимальное значение функции $f(x)$ положительно, следовательно, $f(x) > 0$ для всех $x$. Уравнение $x^6 - 2x + 3 = 0$ не имеет действительных корней, а значит, графики не пересекаются.

Ответ: 0.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^7 \\ y = -x + 4 \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = x^7$ и $y = -x + 4$.

Функция $y = x^7$ — степенная с нечетным показателем. Ее производная $y' = 7x^6 \ge 0$, значит, функция является монотонно возрастающей.

Функция $y = -x + 4$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $(-1)$, поэтому она является монотонно убывающей.

Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы проверить, есть ли пересечение, рассмотрим уравнение $x^7 = -x + 4$, или $f(x) = x^7 + x - 4 = 0$.

Найдем значения функции в некоторых точках: $f(1) = 1+1-4 = -2 < 0$ и $f(2) = 128+2-4 = 126 > 0$. Поскольку функция непрерывна и меняет знак на интервале $(1, 2)$, на этом интервале существует корень. Так как производная $f'(x) = 7x^6 + 1$ всегда положительна, функция $f(x)$ строго возрастает, а значит корень единственный.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.