Страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

12.11 а) $y = (x + 2)^4;$

б) $y = -(x - 1)^5;$

в) $y = x^6 + 1;$

г) $y = -x^7 - 1.$

а) Построение графика функции $y = (x + 2)^4$.

1. Начнем с построения графика базовой функции $y = x^4$. Это степенная функция с четным показателем. Ее график — кривая, похожая на параболу $y=x^2$, но более плоская у вершины и круче поднимающаяся при $|x| > 1$. График симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$) и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.
2. График функции $y = (x + 2)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (оси $Ox$).
3. Поскольку к аргументу $x$ прибавляется 2, сдвиг происходит на 2 единицы влево.
4. Таким образом, каждая точка графика $y = x^4$ с координатами $(x_0, y_0)$ переходит в точку с координатами $(x_0 - 2, y_0)$. Например, вершина из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(-2, 0)$. Точка $(1, 1)$ перемещается в точку $(-1, 1)$, а точка $(-1, 1)$ — в точку $(-3, 1)$.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^4$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$.

б) Построение графика функции $y = -(x - 1)^5$.

1. Начнем с построения графика базовой функции $y = x^5$. Это степенная функция с нечетным показателем. Ее график — кривая, похожая на кубическую параболу $y=x^3$. График симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
2. Для построения графика $y = -(x - 1)^5$ выполним два преобразования:
а) Сначала построим график функции $y = (x - 1)^5$. Он получается из графика $y = x^5$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Центр симметрии графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.
б) Затем построим график функции $y = -(x - 1)^5$. Он получается из графика $y = (x - 1)^5$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$).
3. При отражении точка $(1, 0)$ останется на месте. Точка $(2, 1)$ на графике $y=(x-1)^5$ перейдет в точку $(2, -1)$. Точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$. В результате получится убывающая на всей области определения функция.

Ответ: График функции $y = -(x - 1)^5$ получается из графика $y = x^5$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$ и последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

в) Построение графика функции $y = x^6 + 1$.

1. Начнем с построения графика базовой функции $y = x^6$. Это степенная функция с четным показателем, ее график похож на график $y=x^4$, но еще более плоский у вершины $(0,0)$ и еще более крутой при $|x|>1$. График симметричен относительно оси $Oy$ и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
2. График функции $y = x^6 + 1$ получается из графика функции $y = x^6$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (оси $Oy$).
3. Поскольку к значению функции прибавляется 1, сдвиг происходит на 1 единицу вверх.
4. Таким образом, каждая точка графика $y = x^6$ с координатами $(x_0, y_0)$ переходит в точку с координатами $(x_0, y_0 + 1)$. Например, вершина из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, 1)$. Точка $(1, 1)$ перемещается в точку $(1, 2)$, а точка $(-1, 1)$ — в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции $y = x^6 + 1$ — это график функции $y = x^6$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

г) Построение графика функции $y = -x^7 - 1$.

1. Начнем с построения графика базовой функции $y = x^7$. Это степенная функция с нечетным показателем. Ее график похож на график $y=x^5$, но еще более плоский у начала координат и круче при $|x|>1$. График симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
2. Для построения графика $y = -x^7 - 1$ выполним два преобразования:
а) Сначала построим график функции $y = -x^7$. Он получается из графика $y = x^7$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$). График $y=x^7$ был возрастающим, а график $y=-x^7$ будет убывающим. Он будет проходить через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$.
б) Затем построим график функции $y = -x^7 - 1$. Он получается из графика $y = -x^7$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.
3. При сдвиге центр симметрии из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -1)$. Точка $(1, -1)$ на графике $y=-x^7$ перейдет в точку $(1, -2)$. Точка $(-1, 1)$ перейдет в точку $(-1, 0)$.

Ответ: График функции $y = -x^7 - 1$ получается из графика $y = x^7$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

12.12 а) $y = -(x + 2)^3 - 1;$

б) $y = (x - 1)^6 + 0,5;$

В) $y = (x - 3)^5 - 2;$

Г) $y = -(x + 4)^4 + 1.$

а) $y = -(x + 2)^3 - 1$

График данной функции можно получить из графика базовой степенной функции $y = x^3$ (кубическая парабола) с помощью следующих последовательных геометрических преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^3$ на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). В результате этого преобразования получаем график функции $y = (x + 2)^3$.
2. Симметричное отражение графика $y = (x + 2)^3$ относительно оси абсцисс (Ox). В результате получаем график функции $y = -(x + 2)^3$.
3. Сдвиг графика $y = -(x + 2)^3$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). В результате получаем искомый график функции $y = -(x + 2)^3 - 1$.

Ответ: График функции $y = -(x + 2)^3 - 1$ получается из графика $y = x^3$ путем сдвига на 2 единицы влево, последующего отражения относительно оси Ox и сдвига на 1 единицу вниз.

б) $y = (x - 1)^6 + 0,5$

График данной функции можно получить из графика базовой степенной функции $y = x^6$ с помощью следующих последовательных геометрических преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^6$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). В результате получаем график функции $y = (x - 1)^6$.
2. Сдвиг графика $y = (x - 1)^6$ на 0,5 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). В результате получаем искомый график функции $y = (x - 1)^6 + 0,5$.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^6 + 0,5$ получается из графика $y = x^6$ путем сдвига на 1 единицу вправо и на 0,5 единицы вверх.

в) $y = (x - 3)^5 - 2$

График данной функции можно получить из графика базовой степенной функции $y = x^5$ с помощью следующих последовательных геометрических преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^5$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox). В результате получаем график функции $y = (x - 3)^5$.
2. Сдвиг графика $y = (x - 3)^5$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). В результате получаем искомый график функции $y = (x - 3)^5 - 2$.

Ответ: График функции $y = (x - 3)^5 - 2$ получается из графика $y = x^5$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

г) $y = -(x + 4)^4 + 1$

График данной функции можно получить из графика базовой степенной функции $y = x^4$ с помощью следующих последовательных геометрических преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^4$ на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). В результате получаем график функции $y = (x + 4)^4$.
2. Симметричное отражение графика $y = (x + 4)^4$ относительно оси абсцисс (Ox). В результате получаем график функции $y = -(x + 4)^4$.
3. Сдвиг графика $y = -(x + 4)^4$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy). В результате получаем искомый график функции $y = -(x + 4)^4 + 1$.

Ответ: График функции $y = -(x + 4)^4 + 1$ получается из графика $y = x^4$ путем сдвига на 4 единицы влево, последующего отражения относительно оси Ox и сдвига на 1 единицу вверх.

12.13 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^6$:

а) на отрезке $[-1; 1]$;

в) на полуинтервале $(-2; 2]$;

б) на луче $[\frac{1}{2}; +\infty)$;

г) на луче $(-\infty; 3]$.

Для решения задачи проанализируем свойства функции $y=x^6$. Это степенная функция с четным показателем.

• Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.
• Функция неотрицательна при всех значениях $x$. Глобальный минимум функции достигается в точке $x=0$ и равен $y(0) = 0$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции на заданных промежутках.

а) на отрезке $[-1; 1]$

Данный отрезок симметричен относительно точки $x=0$, в которой функция достигает своего минимума. Следовательно, наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$ будет в этой точке.

$y_{min} = y(0) = 0^6 = 0$.

Так как функция возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$, наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$ будет достигаться в точках, наиболее удаленных от нуля, то есть на концах отрезка.

$y(-1) = (-1)^6 = 1$

$y(1) = 1^6 = 1$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке равно 1.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на луче $[\frac{1}{2}; +\infty)$

На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = x^6$ монотонно возрастает. Луч $[\frac{1}{2}; +\infty)$ является частью этого промежутка, поэтому функция на нем также возрастает.

Наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча, то есть при $x = \frac{1}{2}$.

$y_{min} = y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

Поскольку при $x \to +\infty$ значения функции $y=x^6$ неограниченно возрастают, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{1}{64}$, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале $(-2; 2]$

На данном промежутке находится точка минимума функции $x=0$.

$y_{min} = y(0) = 0^6 = 0$.

Это наименьшее значение функции на данном полуинтервале.

Для нахождения наибольшего значения исследуем поведение функции на концах полуинтервала. На промежутке $(-2; 0]$ функция убывает, а на $[0; 2]$ — возрастает.

Найдем значение на правом конце, который включен в полуинтервал:

$y(2) = 2^6 = 64$.

На левом конце, который не включен в полуинтервал, значение функции стремится к:

$\lim_{x \to -2^+} x^6 = (-2)^6 = 64$.

Так как $x=2$ входит в полуинтервал $(-2; 2]$, значение $y=64$ достигается. Это и есть наибольшее значение функции на данном полуинтервале.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 64.

г) на луче $(-\infty; 3]$

На данном луче находится точка глобального минимума функции $x=0$.

$y_{min} = y(0) = 0^6 = 0$.

Это наименьшее значение функции на данном луче.

Для нахождения наибольшего значения исследуем поведение функции на концах луча. На правом конце $x=3$ значение функции равно:

$y(3) = 3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

При $x \to -\infty$, так как показатель степени 6 — четное число, функция неограниченно возрастает:

$\lim_{x \to -\infty} x^6 = +\infty$.

Следовательно, наибольшего значения на данном луче функция не достигает.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшего значения не существует.

12.14 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^5$:

а) на отрезке $[-1; 1]$;

б) на луче $(-\infty; 0]$;

в) на полуинтервале $(1; 3]$;

г) на луче $[-1; +\infty)$.

Для решения задачи необходимо найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^5$ на указанных промежутках. Для этого сначала исследуем функцию на монотонность.

Найдём производную функции: $y' = (x^5)' = 5x^4$.

Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, производная $y' = 5x^4$ также всегда неотрицательна ($y' \ge 0$). Производная равна нулю только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция $y = x^5$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

Зная, что функция монотонно возрастает, мы можем определить её наименьшие и наибольшие значения на заданных интервалах.

а) на отрезке [-1; 1]

Так как функция строго возрастает на отрезке $[-1; 1]$, своё наименьшее значение она принимает в левой крайней точке, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^5 = -1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^5 = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

б) на луче (-∞; 0]

На луче $(-\infty; 0]$ функция $y = x^5$ возрастает. Поскольку правая граница $x=0$ принадлежит промежутку, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = 0^5 = 0$.

Промежуток не ограничен слева. При $x \to -\infty$, значение функции $y = x^5$ также стремится к $-\infty$. Это означает, что функция не ограничена снизу, и наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 0, наименьшего значения не существует.

в) на полуинтервале (1; 3]

На данном полуинтервале функция $y = x^5$ возрастает. Правая граница $x=3$ принадлежит промежутку, поэтому в ней достигается наибольшее значение.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = 3^5 = 243$.

Левая граница $x=1$ не принадлежит промежутку (интервал открыт слева). Значения функции стремятся к $y(1) = 1^5 = 1$ при $x \to 1^+$, но никогда этого значения не достигают, так как $x > 1$. Следовательно, наименьшего значения на этом полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 243, наименьшего значения не существует.

г) на луче [-1; +∞)

На луче $[-1; +\infty)$ функция $y = x^5$ возрастает. Левая граница $x=-1$ принадлежит промежутку, поэтому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^5 = -1$.

Промежуток не ограничен справа. При $x \to +\infty$, значение функции $y = x^5$ также стремится к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху, и наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшего значения не существует.

12.15 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = x^4$ и $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = x^5$ и $y = -1$;

в) $y = x^6$ и $y = -2x^2$;

г) $y = x^7$ и $y = \sqrt{x}$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^4$ и $y = \frac{1}{x}$, необходимо приравнять их правые части. Получим уравнение:$x^4 = \frac{1}{x}$.Область допустимых значений этого уравнения определяется функцией $y = \frac{1}{x}$, поэтому $x \neq 0$.Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$):$x^4 \cdot x = 1$$x^5 = 1$Единственным действительным решением этого уравнения является $x = 1$.Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:$y = 1^4 = 1$.Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.
Ответ: $(1, 1)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^5$ и $y = -1$, приравняем их правые части:$x^5 = -1$.Чтобы найти $x$, извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:$x = \sqrt[5]{-1}$$x = -1$.Значение $y$ уже известно из второго уравнения: $y = -1$.Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.
Ответ: $(-1, -1)$.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^6$ и $y = -2x^2$, приравняем их правые части:$x^6 = -2x^2$.Перенесем все члены в левую часть уравнения:$x^6 + 2x^2 = 0$.Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:$x^2(x^4 + 2) = 0$.Это уравнение имеет решение, если один из множителей равен нулю:1) $x^2 = 0 \implies x = 0$.2) $x^4 + 2 = 0 \implies x^4 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной ($x^4 \ge 0$).Следовательно, существует только одно решение $x=0$.Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из уравнений:$y = 0^6 = 0$.Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.
Ответ: $(0, 0)$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^7$ и $y = \sqrt{x}$, приравняем их правые части:$x^7 = \sqrt{x}$.Область допустимых значений для функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:$(x^7)^2 = (\sqrt{x})^2$$x^{14} = x$.Перенесем $x$ в левую часть:$x^{14} - x = 0$.Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x(x^{13} - 1) = 0$.Это уравнение имеет решения, если один из множителей равен нулю:1) $x = 0$.2) $x^{13} - 1 = 0 \implies x^{13} = 1 \implies x = 1$.Оба найденных значения $x$ принадлежат области допустимых значений ($x \ge 0$).Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:
При $x=0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.
Таким образом, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

Решите графически уравнение:

12.16 a) $x^6 = -\frac{1}{x}$;

б) $x^5 = \frac{1}{x}$;

в) $x^4 = 1$;

г) $x^7 = x$.

Для графического решения уравнения $x^6 = -\frac{1}{x}$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^6$ и $y = -\frac{1}{x}$.

График функции $y = x^6$ — это степенная функция с четным показателем. Ее график симметричен относительно оси OY и проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, 1). Значения функции всегда неотрицательны ($y \ge 0$).

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Найдем точки пересечения этих графиков.
При $x > 0$ имеем $x^6 > 0$, а $-\frac{1}{x} < 0$, поэтому в правой полуплоскости графики не пересекаются.
При $x < 0$ обе функции принимают положительные значения. Выполним проверку для $x = -1$:
$y = (-1)^6 = 1$
$y = -\frac{1}{-1} = 1$
Поскольку значения $y$ совпали, графики пересекаются в точке $(-1, 1)$. Это единственная точка пересечения, так как на промежутке $(-\infty; 0)$ обе функции ($y=x^6$ и $y = -\frac{1}{x}$) убывают, но с разной скоростью, и проверка показывает, что пересечение одно.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения.

Ответ: $x = -1$.

Чтобы решить уравнение $x^5 = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^5$ и $y = \frac{1}{x}$.

График функции $y = x^5$ — это степенная функция с нечетным показателем, ее график симметричен относительно начала координат и проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, -1).

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

Найдем абсциссы точек пересечения графиков.
В первой четверти ($x > 0$) проверим точку $x=1$:
$y = 1^5 = 1$
$y = \frac{1}{1} = 1$
Графики пересекаются в точке $(1, 1)$.
В третьей четверти ($x < 0$) проверим точку $x=-1$:
$y = (-1)^5 = -1$
$y = \frac{1}{-1} = -1$
Графики пересекаются в точке $(-1, -1)$.

Уравнение имеет два корня, которые являются абсциссами точек пересечения.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Для решения уравнения $x^4 = 1$ графически, построим графики функций $y = x^4$ и $y = 1$.

График функции $y = x^4$ — это парабола четной степени, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, 1).

График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0, 1).

Прямая $y=1$ пересекает график $y=x^4$ в двух точках. Найдем их абсциссы.
При $x = 1$, $y = 1^4 = 1$. Точка пересечения (1, 1).
При $x = -1$, $y = (-1)^4 = 1$. Точка пересечения (-1, 1).

Решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Чтобы решить уравнение $x^7 = x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^7$ и $y = x$.

График функции $y = x^7$ — это степенная функция с нечетным показателем, симметричная относительно начала координат. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, -1).

График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

Найдем точки пересечения этих двух графиков.
Очевидно, что графики проходят через общие точки, что можно проверить подстановкой:
При $x = 0$: $y = 0^7 = 0$ и $y = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1$: $y = 1^7 = 1$ и $y = 1$. Точка (1, 1).
При $x = -1$: $y = (-1)^7 = -1$ и $y = -1$. Точка (-1, -1).

Эти три точки являются единственными точками пересечения. Решениями уравнения являются их абсциссы.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

12.17 a) $x^3 = 4x;$

Б) $(x + 1)^3 = 1 - 2x;$

В) $x^3 = \frac{1}{x};$

Г) $-x^3 + 2 = x + 4.$

а)

Исходное уравнение: $x^3 = 4x$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

$x_1 = 0$

$x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x+2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Ответ: $-2; 0; 2$.

б)

Исходное уравнение: $(x+1)^3 = 1 - 2x$.

Раскроем куб в левой части и перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 1 - 2x$

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 1 + 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 3x^2 + 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 3x + 5) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x = 0$

2) $x^2 + 3x + 5 = 0$

Решим второе, квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $0$.

в)

Исходное уравнение: $x^3 = \frac{1}{x}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как переменная $x$ находится в знаменателе, то $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x^3 \cdot x = 1$

$x^4 = 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$x^4 - 1 = 0$

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$

Выражение $x^2+1$ всегда больше нуля при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$.

Следовательно, для нахождения корней необходимо решить уравнение:

$x^2 - 1 = 0$

Разложим его на множители:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-1; 1$.

г)

Исходное уравнение: $-x^3 + 2 = x + 4$.

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$0 = x^3 + x + 4 - 2$

$x^3 + x + 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (числа 2). Делители: $\pm1, \pm2$.

Подставим $x=-1$ в уравнение:

$(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$

Так как получилось верное равенство $0 = 0$, то $x=-1$ является корнем уравнения.

Теперь разделим многочлен $x^3 + x + 2$ на двучлен $(x - (-1)) = (x+1)$, чтобы найти остальные корни.

$(x^3 + x + 2) : (x+1) = x^2 - x + 2$

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x+1)(x^2 - x + 2) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

2) $x^2 - x + 2 = 0$

Решим второе, квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $-1$.

12.18 Решите графически неравенство:

а) $x^3 < 1;$

б) $x^3 > x;$

в) $x^3 > -8;$

г) $x^3 \le x.$

а) Для графического решения неравенства $x^3 < 1$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = 1$ (горизонтальная прямая). Точка их пересечения находится из уравнения $x^3 = 1$, откуда $x = 1$. Неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^3$ лежит ниже прямой $y = 1$. Глядя на график, мы видим, что это происходит для всех $x$ левее точки пересечения.
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б) Для графического решения неравенства $x^3 > x$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = x$ (прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов). Найдем точки их пересечения, решив уравнение $x^3 = x$, или $x^3 - x = 0$, что равносильно $x(x-1)(x+1) = 0$. Абсциссы точек пересечения: $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^3$ расположен выше графика функции $y = x$. По графикам видно, что это происходит на интервалах от -1 до 0 и при значениях больше 1.
Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.

в) Для графического решения неравенства $x^3 > -8$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = -8$ (горизонтальная прямая). Точка их пересечения находится из уравнения $x^3 = -8$, откуда $x = -2$. Неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^3$ лежит выше прямой $y = -8$. Так как функция $y = x^3$ является возрастающей, это условие выполняется для всех $x$ правее точки их пересечения.
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) Для графического решения неравенства $x^3 \le x$ используем те же графики, что и в пункте б): $y = x^3$ и $y = x$. Точки их пересечения имеют абсциссы $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^3$ расположен ниже или совпадает с графиком функции $y = x$. Анализируя графики, видим, что это происходит при $x$ от минус бесконечности до -1 включительно, а также на отрезке от 0 до 1 включительно.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; 1]$.

Определите число решений системы уравнений:

12.19 а)

$\begin{cases} y = x^8, \\ y = x + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^5, \\ y = 5 - 3x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^6, \\ y = -3 + 2x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^7, \\ y = -x + 4. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^8 \\ y = x + 1 \end{cases} $

Число решений данной системы соответствует количеству точек пересечения графиков функций $y = x^8$ и $y = x + 1$. Для нахождения этих точек приравняем правые части уравнений: $x^8 = x + 1$.

Проанализируем графики функций. График $y = x^8$ — это степенная функция с четным показателем, симметричная относительно оси OY, похожая на параболу, но с более "плоским" дном и крутыми ветвями. График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

График $y = x + 1$ — это прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

Чтобы определить число решений, исследуем функцию $f(x) = x^8 - x - 1$.

1. Для $x < 0$. Возьмем значения на концах интервала, где может быть решение. При $x = -1$, $f(-1) = (-1)^8 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$. При $x = 0$, $f(0) = -1 < 0$. Так как функция $f(x)$ непрерывна и меняет знак на интервале $(-1, 0)$, на этом интервале есть хотя бы один корень. Производная $f'(x) = 8x^7 - 1$ для всех $x < 0$ отрицательна ($x^7 < 0$), значит, функция $f(x)$ на этом промежутке монотонно убывает, и корень может быть только один.

2. Для $x > 0$. Возьмем значения. При $x = 1$, $f(1) = 1^8 - 1 - 1 = -1 < 0$. При $x = 2$, $f(2) = 2^8 - 2 - 1 = 256 - 3 = 253 > 0$. Так как функция $f(x)$ непрерывна и меняет знак на интервале $(1, 2)$, на этом интервале есть хотя бы один корень. Производная $f'(x) = 8x^7 - 1$ положительна при $x > \sqrt[7]{1/8}$, т.е. при $x > (1/2)^{3/7}$. Так как $(1/2)^{3/7} < 1$, на интервале $(1, 2)$ функция монотонно возрастает, следовательно, корень единственный.

Итак, есть два корня: один отрицательный и один положительный. Значит, система имеет два решения.

Ответ: 2.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^5 \\ y = 5 - 3x \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = x^5$ и $y = 5 - 3x$.

Функция $y = x^5$ — степенная с нечетным показателем. Ее производная $y' = 5x^4 \ge 0$, значит, функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

Функция $y = 5 - 3x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $(-3)$, поэтому она является монотонно убывающей.

Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы проверить, есть ли пересечение, рассмотрим уравнение $x^5 = 5 - 3x$, или $f(x) = x^5 + 3x - 5 = 0$.

Найдем значения функции в некоторых точках: $f(1) = 1+3-5 = -1 < 0$ и $f(2) = 32+6-5 = 33 > 0$. Поскольку функция непрерывна и меняет знак на интервале $(1, 2)$, на этом интервале существует корень. Так как функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций ($x^5$ и $3x$) и константы, она строго возрастает, а значит корень единственный.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^6 \\ y = -3 + 2x \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = x^6$ и $y = 2x - 3$.

Функция $y = x^6$ принимает только неотрицательные значения ($y \ge 0$).

Функция $y = 2x - 3$ принимает неотрицательные значения только при $2x - 3 \ge 0$, то есть при $x \ge 1.5$. Таким образом, решения могут существовать только в области, где $x \ge 1.5$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^6 - (2x - 3) = x^6 - 2x + 3$. Нам нужно найти число нулей этой функции. Найдем ее наименьшее значение с помощью производной:

$f'(x) = 6x^5 - 2$.

Приравняем производную к нулю: $6x^5 - 2 = 0 \implies x^5 = 1/3 \implies x_0 = \sqrt[5]{1/3}$. Это точка минимума.

Значение функции в этой точке:

$f(x_0) = (\sqrt[5]{1/3})^6 - 2\sqrt[5]{1/3} + 3 = (1/3)\cdot(1/3)^{1/5} - 2\cdot(1/3)^{1/5} + 3 = 3 - (2 - 1/3)(1/3)^{1/5} = 3 - \frac{5}{3}\sqrt[5]{\frac{1}{3}}$.

Оценим это значение. Сравним $3$ и $\frac{5}{3}\sqrt[5]{\frac{1}{3}}$. Возведем обе части предполагаемого неравенства $3 > \frac{5}{3}\sqrt[5]{\frac{1}{3}}$ в пятую степень после преобразования: $9/5 > \sqrt[5]{1/3} \implies (9/5)^5 > 1/3$.

$(1.8)^5 = 18.89568$, что, очевидно, больше $1/3$. Значит, $f(x_0) > 0$.

Минимальное значение функции $f(x)$ положительно, следовательно, $f(x) > 0$ для всех $x$. Уравнение $x^6 - 2x + 3 = 0$ не имеет действительных корней, а значит, графики не пересекаются.

Ответ: 0.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^7 \\ y = -x + 4 \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = x^7$ и $y = -x + 4$.

Функция $y = x^7$ — степенная с нечетным показателем. Ее производная $y' = 7x^6 \ge 0$, значит, функция является монотонно возрастающей.

Функция $y = -x + 4$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $(-1)$, поэтому она является монотонно убывающей.

Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы проверить, есть ли пересечение, рассмотрим уравнение $x^7 = -x + 4$, или $f(x) = x^7 + x - 4 = 0$.

Найдем значения функции в некоторых точках: $f(1) = 1+1-4 = -2 < 0$ и $f(2) = 128+2-4 = 126 > 0$. Поскольку функция непрерывна и меняет знак на интервале $(1, 2)$, на этом интервале существует корень. Так как производная $f'(x) = 7x^6 + 1$ всегда положительна, функция $f(x)$ строго возрастает, а значит корень единственный.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.