Страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

12.3 Постройте график функции $y = f(x)$, где $f(x) = -(x - 1)^3 + 2$. С помощью графика найдите:

а) $f(0)$, $f(-1)$, $f(3)$;

б) корень уравнения $f(x) = -6$;

в) решение неравенства $f(x) < 1$;

г) значения аргумента, при которых функция выпукла вверх, выпукла вниз.

Для построения графика функции $y = f(x)$, где $f(x) = -(x - 1)^3 + 2$, выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = x^3$.

1. Начнем с графика функции $y = x^3$ (кубическая парабола).
2. Отразим его симметрично относительно оси $Ox$, чтобы получить график $y = -x^3$.
3. Сдвинем полученный график на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Получим график функции $y = -(x - 1)^3$.
4. Сдвинем последний график на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Это и будет искомый график $y = f(x) = -(x - 1)^3 + 2$.

Центр симметрии (точка перегиба) графика $y=x^3$ находится в точке $(0, 0)$. После всех преобразований центр симметрии для графика $f(x)$ сместится в точку $(1, 2)$.

Для более точного построения найдем несколько ключевых точек:

• $x = -1 \implies y = -(-1 - 1)^3 + 2 = -(-2)^3 + 2 = 8 + 2 = 10$. Точка $(-1, 10)$.
• $x = 0 \implies y = -(0 - 1)^3 + 2 = -(-1)^3 + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• $x = 1 \implies y = -(1 - 1)^3 + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• $x = 2 \implies y = -(2 - 1)^3 + 2 = -(1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• $x = 3 \implies y = -(3 - 1)^3 + 2 = -(2)^3 + 2 = -8 + 2 = -6$. Точка $(3, -6)$.

График функции является монотонно убывающей кривой, проходящей через указанные точки.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

а) $f(0)$, $f(-1)$, $f(3)$

Находим на графике точки, абсциссы которых равны $0$, $-1$ и $3$, и определяем их ординаты.

• Для $x=0$, находим на оси $Oy$ (где $x=0$) точку на графике. Ее ордината равна $3$. Таким образом, $f(0) = 3$.
• Для $x=-1$, находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $10$. Таким образом, $f(-1) = 10$.
• Для $x=3$, находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $-6$. Таким образом, $f(3) = -6$.

Эти значения совпадают с расчетными.
Ответ: $f(0)=3$, $f(-1)=10$, $f(3)=-6$.

б) корень уравнения $f(x) = -6$

Чтобы решить уравнение $f(x) = -6$ графически, нужно найти абсциссу точки пересечения графика $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y=-6$. Проведя мысленно прямую $y=-6$, мы видим, что она пересекает наш график в одной точке. Из наших расчетов для построения мы уже знаем, что это точка $(3, -6)$. Следовательно, абсцисса этой точки равна $3$.
Ответ: $x=3$.

в) решение неравенства $f(x) < 1$

Чтобы решить неравенство $f(x) < 1$, нужно найти все значения $x$, при которых график функции $y=f(x)$ лежит ниже прямой $y=1$.

1. Сначала найдем точку пересечения графика с прямой $y=1$. Решим уравнение $f(x) = 1$:
   $-(x-1)^3 + 2 = 1$
   $-(x-1)^3 = -1$
   $(x-1)^3 = 1$
   $x-1 = 1$
   $x=2$.
   Точка пересечения имеет координаты $(2, 1)$.
2. На графике видно, что кривая находится ниже прямой $y=1$ справа от точки пересечения. Так как функция $f(x)$ монотонно убывает, то для любого $x > 2$ значение функции будет меньше $f(2)=1$.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

г) значения аргумента, при которых функция выпукла вверх, выпукла вниз

Направление выпуклости графика функции меняется в точке перегиба, которая для нашей функции имеет координаты $(1, 2)$.

• Выпуклость вверх (или вогнутость) наблюдается на той части графика, которая "изгибается вниз". Для кубической параболы вида $y=-x^3$ это происходит при $x>0$. В нашем случае, с учетом сдвига, это будет при $x-1 > 0$, то есть при $x > 1$. На графике видно, что справа от точки перегиба $(1,2)$ кривая выпукла вверх.
• Выпуклость вниз (или просто выпуклость) наблюдается на той части графика, которая "изгибается вверх". Для $y=-x^3$ это происходит при $x<0$. В нашем случае это будет при $x-1 < 0$, то есть при $x < 1$. На графике видно, что слева от точки перегиба $(1,2)$ кривая выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх при $x \in (1; +\infty)$, выпукла вниз при $x \in (-\infty; 1)$.

12.4 Принадлежит ли графику функции $y = f(x)$ точка A, если:

а) $f(x) = x^3 - 4$, A(6; 212);

б) $f(x) = -(x + 6)^3$, A(-8; -8);

в) $f(x) = (x - 2)^3 + 200$, A(-8; 800);

г) $f(x) = -(x + 7)^3 + 25$, A(-2; -100)?

а) Чтобы определить, принадлежит ли точка $A(6; 212)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить координаты точки в уравнение функции. Точка принадлежит графику, если при подстановке ее абсциссы ($x=6$) в формулу функции, результат будет равен ее ординате ($y=212$).
Дана функция $f(x) = x^3 - 4$.
Вычислим значение функции в точке $x = 6$:
$f(6) = 6^3 - 4 = 216 - 4 = 212$.
Полученное значение $f(6) = 212$ совпадает с ординатой точки $A$. Следовательно, точка $A(6; 212)$ принадлежит графику функции.
Ответ: да.

б) Проверим для функции $f(x) = -(x + 6)^3$ и точки $A(-8; -8)$.
Подставим абсциссу $x = -8$ в формулу функции:
$f(-8) = -(-8 + 6)^3 = -(-2)^3 = -(-8) = 8$.
Полученное значение $f(-8) = 8$ не совпадает с ординатой точки $A$, которая равна $-8$ ($8 \neq -8$). Следовательно, точка $A(-8; -8)$ не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.

в) Проверим для функции $f(x) = (x - 2)^3 + 200$ и точки $A(-8; 800)$.
Подставим абсциссу $x = -8$ в формулу функции:
$f(-8) = (-8 - 2)^3 + 200 = (-10)^3 + 200 = -1000 + 200 = -800$.
Полученное значение $f(-8) = -800$ не совпадает с ординатой точки $A$, которая равна $800$ ($-800 \neq 800$). Следовательно, точка $A(-8; 800)$ не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.

г) Проверим для функции $f(x) = -(x + 7)^3 + 25$ и точки $A(-2; -100)$.
Подставим абсциссу $x = -2$ в формулу функции:
$f(-2) = -(-2 + 7)^3 + 25 = -(5)^3 + 25 = -125 + 25 = -100$.
Полученное значение $f(-2) = -100$ совпадает с ординатой точки $A$. Следовательно, точка $A(-2; -100)$ принадлежит графику функции.
Ответ: да.

12.5 Не выполняя построения графика, найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = x^3 - 3$, $x \in [-1; 2];$

б) $y = -(x + 4)^3$, $x \in [-4; 10];$

в) $y = (x - 2)^3 + 5$, $x \in [-1; 2];$

г) $y = -(x - 3)^3 - 1$, $x \in [-4; 8].$

а) $y = x^3 - 3, x \in [-1; 2]$

Функция вида $y = k(x-a)^3+b$ является монотонной. В данном случае функция $y = x^3 - 3$ имеет коэффициент $k=1$, который является положительным, следовательно, функция монотонно возрастает на всей области определения. На заданном отрезке $[-1; 2]$ монотонно возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение функции при $x=-1$:
$y_{наим} = (-1)^3 - 3 = -1 - 3 = -4$.

Наибольшее значение функции при $x=2$:
$y_{наиб} = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$.

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшее значение 5.

б) $y = -(x + 4)^3, x \in [-4; 10]$

В данной функции $y = -(x + 4)^3$ коэффициент $k=-1$, который является отрицательным, следовательно, функция монотонно убывает. На заданном отрезке $[-4; 10]$ монотонно убывающая функция принимает свое наибольшее значение на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение функции при $x=-4$:
$y_{наиб} = -(-4 + 4)^3 = -(0)^3 = 0$.

Наименьшее значение функции при $x=10$:
$y_{наим} = -(10 + 4)^3 = -(14)^3 = -2744$.

Ответ: наименьшее значение -2744, наибольшее значение 0.

в) $y = (x - 2)^3 + 5, x \in [-1; 2]$

В данной функции $y = (x - 2)^3 + 5$ коэффициент $k=1$ (положительный), следовательно, функция является монотонно возрастающей. На отрезке $[-1; 2]$ наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение функции при $x=-1$:
$y_{наим} = (-1 - 2)^3 + 5 = (-3)^3 + 5 = -27 + 5 = -22$.

Наибольшее значение функции при $x=2$:
$y_{наиб} = (2 - 2)^3 + 5 = 0^3 + 5 = 5$.

Ответ: наименьшее значение -22, наибольшее значение 5.

г) $y = -(x - 3)^3 - 1, x \in [-4; 8]$

В данной функции $y = -(x - 3)^3 - 1$ коэффициент $k=-1$ (отрицательный), следовательно, функция является монотонно убывающей. На отрезке $[-4; 8]$ наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение функции при $x=-4$:
$y_{наиб} = -(-4 - 3)^3 - 1 = -(-7)^3 - 1 = -(-343) - 1 = 343 - 1 = 342$.

Наименьшее значение функции при $x=8$:
$y_{наим} = -(8 - 3)^3 - 1 = -(5)^3 - 1 = -125 - 1 = -126$.

Ответ: наименьшее значение -126, наибольшее значение 342.

12.6 Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = (x + 2)^3;$

б) $y = -(x - 4)^3 + 1;$

в) $y = x^3 - 10;$

г) $y = -(x + 1)^3 - 3.$

а) $y = (x + 2)^3$

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$y' = ((x + 2)^3)' = 3(x + 2)^{3-1} \cdot (x+2)' = 3(x+2)^2 \cdot 1 = 3(x+2)^2$.

Теперь определим знак производной. Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $y' = 3(x+2)^2 \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная равна нулю в точке $x = -2$. Так как производная $y'$ неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = -(x - 4)^3 + 1$

Найдем производную данной функции. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (-(x - 4)^3 + 1)' = -((x-4)^3)' + (1)' = -3(x-4)^2 \cdot (x-4)' + 0 = -3(x-4)^2$.

Определим знак производной. Выражение $(x-4)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-4)^2 \ge 0$. Умножение на отрицательное число $-3$ меняет знак неравенства, поэтому $y' = -3(x-4)^2 \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная равна нулю в точке $x = 4$. Так как производная $y'$ неположительна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = x^3 - 10$

Найдем производную функции. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (x^3 - 10)' = (x^3)' - (10)' = 3x^2 - 0 = 3x^2$.

Определим знак производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $y' = 3x^2 \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная равна нулю в точке $x = 0$. Так как производная $y'$ неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -(x + 1)^3 - 3$

Найдем производную функции. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (-(x + 1)^3 - 3)' = -((x+1)^3)' - (3)' = -3(x+1)^2 \cdot (x+1)' - 0 = -3(x+1)^2$.

Определим знак производной. Выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+1)^2 \ge 0$. Умножение на $-3$ приводит к тому, что $y' = -3(x+1)^2 \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная равна нулю в точке $x = -1$. Так как производная $y'$ неположительна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

12.7 Принадлежит ли графику функции $y = f(x)$ точка B, если:

а) $f(x) = x^4$, $B(-2; 8)$;

б) $f(x) = 0.5x^4$, $B(4; 128)$;

в) $f(x) = -(x - 3)^4$, $B(2; -1)$;

г) $f(x) = -x^4 + 3$, $B(-1; 2)?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = f(x)$, нужно подставить значение $x_0$ в формулу функции. Если полученное значение $f(x_0)$ равно $y_0$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) $f(x) = x^4$, $B(-2; 8)$

Проверим, выполняется ли равенство $y = f(x)$ для координат точки $B$. Подставим абсциссу точки $x = -2$ в уравнение функции:

$f(-2) = (-2)^4 = 16$

Полученное значение $16$ не равно ординате точки $B$, которая равна $8$.

$16 \neq 8$

Следовательно, точка $B$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

б) $f(x) = 0,5x^4$, $B(4; 128)$

Проверим, выполняется ли равенство $y = f(x)$ для координат точки $B$. Подставим абсциссу точки $x = 4$ в уравнение функции:

$f(4) = 0,5 \cdot (4)^4 = 0,5 \cdot 256 = 128$

Полученное значение $128$ равно ординате точки $B$, которая также равна $128$.

$128 = 128$

Следовательно, точка $B$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

в) $f(x) = -(x - 3)^4$, $B(2; -1)$

Проверим, выполняется ли равенство $y = f(x)$ для координат точки $B$. Подставим абсциссу точки $x = 2$ в уравнение функции:

$f(2) = -(2 - 3)^4 = -(-1)^4 = -(1) = -1$

Полученное значение $-1$ равно ординате точки $B$, которая также равна $-1$.

$-1 = -1$

Следовательно, точка $B$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

г) $f(x) = -x^4 + 3$, $B(-1; 2)$

Проверим, выполняется ли равенство $y = f(x)$ для координат точки $B$. Подставим абсциссу точки $x = -1$ в уравнение функции:

$f(-1) = -(-1)^4 + 3 = -(1) + 3 = -1 + 3 = 2$

Полученное значение $2$ равно ординате точки $B$, которая также равна $2$.

$2 = 2$

Следовательно, точка $B$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

12.8 Постройте график функции:

а) $y = -x^4$;

б) $y = x^4 - 4$;

в) $y = (x - 1)^4$;

г) $y = -x^4 + 8$.

Для построения всех графиков будем использовать преобразования графика базовой функции $y = x^4$. График этой функции симметричен относительно оси ординат (четная функция), проходит через начало координат $(0, 0)$, точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$, и его ветви направлены вверх. Он похож на параболу $y=x^2$, но более пологий около нуля и растет быстрее при $|x| > 1$.

а) $y = -x^4$

График функции $y = -x^4$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$).

• Вершина графика находится в точке $(0, 0)$, которая является точкой максимума.
• Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^4 = -x^4 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Ветви графика направлены вниз.

Составим таблицу значений для построения:

Ответ: График функции $y = -x^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем его симметричного отражения относительно оси $Ox$.

б) $y = x^4 - 4$

График функции $y = x^4 - 4$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 4 единицы вниз.

• Вершина графика сдвигается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -4)$, которая является точкой минимума.
• Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^4 - 4 = x^4 - 4 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Ветви графика направлены вверх.
• График пересекает ось $Ox$ в точках, где $y=0$. $x^4 - 4 = 0 \Rightarrow x^4 = 4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

Ответ: График функции $y = x^4 - 4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем его сдвига на 4 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) $y = (x - 1)^4$

График функции $y = (x - 1)^4$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на 1 единицу вправо.

• Вершина графика сдвигается из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$, которая является точкой минимума.
• Ось симметрии графика — прямая $x = 1$.
• Ветви графика направлены вверх.
• График пересекает ось $Oy$ в точке, где $x=0$: $y = (0-1)^4 = 1$. Точка пересечения: $(0, 1)$.

Составим таблицу значений для построения:

Ответ: График функции $y = (x-1)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем его сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$.

г) $y = -x^4 + 8$

График функции $y = -x^4 + 8$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ за два шага:

1. Симметричное отражение графика $y = x^4$ относительно оси $Ox$, чтобы получить график $y = -x^4$.
2. Параллельный перенос (сдвиг) полученного графика $y = -x^4$ на 8 единиц вверх вдоль оси $Oy$.

• Вершина графика находится в точке $(0, 8)$, которая является точкой максимума.
• Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^4 + 8 = -x^4 + 8 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Ветви графика направлены вниз.
• График пересекает ось $Ox$ в точках, где $y=0$. $-x^4 + 8 = 0 \Rightarrow x^4 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt[4]{8}$. Точки пересечения: $(-\sqrt[4]{8}, 0)$ и $(\sqrt[4]{8}, 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

Ответ: График функции $y = -x^4 + 8$ получается из графика функции $y = x^4$ путем его симметричного отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 8 единиц вверх вдоль оси $Oy$.

Постройте и прочитайте график функции:

12.9 a) $y = x^6$;

б) $y = -x^{10}$;

в) $y = x^8$;

г) $y = x^{12}$.

а) $y=x^6$;

Построение графика:

График функции $y=x^6$ является степенной функцией с четным показателем. Он имеет форму, схожую с параболой $y=x^2$, но является более "плоским" вблизи начала координат (в интервале $(-1, 1)$) и возрастает значительно круче при $|x| > 1$. График симметричен относительно оси ординат (OY).

Для построения найдем несколько контрольных точек:

• При $x=0$, $y=0^6=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=1^6=1$. Точка $(1; 1)$.
• При $x=-1$, $y=(-1)^6=1$. Точка $(-1; 1)$.
• При $x=2$, $y=2^6=64$. Точка $(2; 64)$.
• При $x=0.5$, $y=(0.5)^6 = 1/64 \approx 0.016$. Точка $(0.5; 1/64)$.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные действительные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: функция имеет точку минимума в $(0; 0)$. $y_{min} = 0$ при $x=0$. Максимума у функции нет.

Ответ: График функции — U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки $(-1; 1), (0; 0), (1; 1)$. Область определения - $(-\infty; +\infty)$. Область значений - $[0; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка минимума $(0;0)$.

б) $y=-x^{10}$;

Построение графика:

График функции $y=-x^{10}$ получается из графика $y=x^{10}$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (OX). Это кривая с ветвями, направленными вниз, симметричная относительно оси OY. По сравнению с параболой $y=-x^2$, график $y=-x^{10}$ более "плоский" около нуля и убывает гораздо быстрее при $|x|>1$.

Контрольные точки:

• При $x=0$, $y=-0^{10}=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=-1^{10}=-1$. Точка $(1; -1)$.
• При $x=-1$, $y=-(-1)^{10}=-1$. Точка $(-1; -1)$.
• При $x=1.2$, $y=-(1.2)^{10} \approx -6.19$. Точка $(1.2; -6.19)$.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неположительные действительные числа, $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^{10} = -x^{10} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. Точка пересечения с осями — $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: функция имеет точку максимума в $(0; 0)$. $y_{max} = 0$ при $x=0$. Минимума у функции нет.

Ответ: График функции — перевернутая U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки $(-1; -1), (0; 0), (1; -1)$. Область определения - $(-\infty; +\infty)$. Область значений - $(-\infty; 0]$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$. Точка максимума $(0;0)$.

в) $y=x^8$;

Построение графика:

График функции $y=x^8$ аналогичен графику $y=x^6$, это степенная функция с четным показателем. Кривая симметрична относительно оси OY. Так как показатель степени 8 больше 6, график $y=x^8$ будет еще более плоским, чем $y=x^6$, в интервале $(-1, 1)$ и будет расти еще быстрее при $|x|>1$.

Контрольные точки:

• При $x=0$, $y=0^8=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=1^8=1$. Точка $(1; 1)$.
• При $x=-1$, $y=(-1)^8=1$. Точка $(-1; 1)$.
• При $x=1.5$, $y=(1.5)^8 \approx 25.6$. Точка $(1.5; 25.6)$.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = (-x)^8 = x^8 = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. Точка $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq 0$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка минимума $(0; 0)$. $y_{min} = 0$. Максимума нет.

Ответ: График функции — U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки $(-1; 1), (0; 0), (1; 1)$. Область определения - $(-\infty; +\infty)$. Область значений - $[0; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка минимума $(0;0)$.

г) $y=x^{12}$.

Построение графика:

График функции $y=x^{12}$ также является степенной функцией с четным показателем. Его свойства аналогичны свойствам функций $y=x^6$ и $y=x^8$. Показатель 12 — самый большой из представленных, поэтому этот график будет наиболее "сплюснутым" у дна в интервале $(-1, 1)$ и будет иметь самый крутой подъем при $|x|>1$.

Контрольные точки:

• При $x=0$, $y=0^{12}=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=1^{12}=1$. Точка $(1; 1)$.
• При $x=-1$, $y=(-1)^{12}=1$. Точка $(-1; 1)$.
• При $x=1.2$, $y=(1.2)^{12} \approx 8.9$. Точка $(1.2; 8.9)$.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = (-x)^{12} = x^{12} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. Точка $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq 0$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка минимума $(0; 0)$. $y_{min} = 0$. Максимума нет.

Ответ: График функции — U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки $(-1; 1), (0; 0), (1; 1)$. Область определения - $(-\infty; +\infty)$. Область значений - $[0; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка минимума $(0;0)$.

12.10 а) $y = -x^3$;

б) $y = x^7$;

В) $y = x^5$;

Г) $y = -x^9$.

а) $y = -x^3$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (-x^3)' = -3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-3x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает числовую ось. Выражение $x^2$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=0$). Следовательно, производная $y' = -3x^2 \leq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная не является положительной ни на одном промежутке, функция не имеет промежутков возрастания. Так как $y' \leq 0$ на всей области определения и равна нулю лишь в одной точке $x=0$, функция является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

б) $y = x^7$

Найдем производную функции для определения промежутков монотонности. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x^7)' = 7x^6$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $7x^6 = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знак производной. Выражение $x^6$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=0$). Следовательно, производная $y' = 7x^6 \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная не является отрицательной ни на одном промежутке, функция не имеет промежутков убывания. Так как $y' \geq 0$ на всей области определения и равна нулю лишь в одной точке $x=0$, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

в) $y = x^5$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x^5)' = 5x^4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $5x^4 = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знак производной. Выражение $x^4$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=0$). Следовательно, производная $y' = 5x^4 \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Так как производная не является отрицательной ни на одном промежутке, функция не имеет промежутков убывания. Поскольку $y' \geq 0$ на всей области определения и обращается в ноль только в точке $x=0$, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

г) $y = -x^9$

Чтобы определить промежутки монотонности, найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (-x^9)' = -9x^8$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-9x^8 = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знак производной. Выражение $x^8$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=0$). Следовательно, производная $y' = -9x^8 \leq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная не является положительной ни на одном промежутке, функция не имеет промежутков возрастания. Так как $y' \leq 0$ на всей области определения и обращается в ноль только в точке $x=0$, функция является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.