Страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

11.23 $y = \begin{cases} 2x + 4, & \text{если } -2 \le x \le -1; \\ 2x^2, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ -2x + 4, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases}$

Построение графика

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждый участок отдельно.

Участок 1: $y = 2x + 4$ на промежутке $x \in [-2, -1]$.
Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:
- При $x = -2$, $y = 2(-2) + 4 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
- При $x = -1$, $y = 2(-1) + 4 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
Обе точки включены в график, так как неравенства строгие.

Участок 2: $y = 2x^2$ на промежутке $x \in (-1, 1]$.
Это квадратичная функция, ее график — часть параболы с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$.
- Вершина параболы: при $x = 0$, $y = 2(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- Значения на границах промежутка: при $x \to -1$, $y \to 2(-1)^2 = 2$ (точка $(-1, 2)$ не включается на этом участке), и при $x = 1$, $y = 2(1)^2 = 2$ (точка $(1, 2)$ включается).

Участок 3: $y = -2x + 4$ на промежутке $x \in (1, 2]$.
Это снова линейная функция, ее график — отрезок прямой.
- Значения на границах промежутка: при $x \to 1$, $y \to -2(1) + 4 = 2$ (точка $(1, 2)$ не включается), и при $x = 2$, $y = -2(2) + 4 = 0$ (точка $(2, 0)$ включается).

Соединяем все участки. В точках "стыка" $x = -1$ и $x = 1$ значения функций, вычисленные для разных участков, совпадают ($y=2$). Следовательно, график является непрерывной линией на всей области определения.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

Чтение графика (свойства функции)

Перечислим основные свойства данной функции, "прочитав" ее график.

1. Область определения: Множество всех допустимых значений аргумента $x$.
$D(y) = [-2; 2]$.

2. Область значений: Множество всех значений, которые принимает функция.
$E(y) = [0; 2]$.

3. Четность: Функция является четной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x \in D(y)$ выполняется равенство $y(-x) = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

4. Нули функции: Значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.
$y=0$ при $x = -2, x = 0, x = 2$.

5. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $x \in (-2; 0) \cup (0; 2)$.
- $y < 0$ — таких значений $x$ нет.

6. Промежутки монотонности:
- Функция возрастает при $x \in [-2; -1]$ и при $x \in [0; 1]$.
- Функция убывает при $x \in [-1; 0]$ и при $x \in [1; 2]$.

7. Экстремумы функции:
- Точки максимума: $x_{max} = -1$ и $x_{max} = 1$. Максимальное значение функции (глобальный максимум): $y_{max} = 2$.
- Точки минимума: $x_{min} = -2, x_{min} = 0, x_{min} = 2$. Минимальное значение функции (глобальный минимум): $y_{min} = 0$.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения $[-2; 2]$.

Ответ: Свойства функции, полученные в результате чтения графика, перечислены выше.

11.24 $$y = \begin{cases} 1, & \text{если } -2 \le x \le -1; \\ 2x^2 - 1, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ 1, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases}$$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать и построить график кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } -2 \le x \le -1; \\ 2x^2 - 1, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ 1, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases}$

Проанализируем каждый участок функции отдельно.

1. Участок на интервале $-2 \le x \le -1$

На этом отрезке функция задается уравнением $y=1$. Это функция-константа, графиком которой является горизонтальная прямая линия. Так как интервал включает граничные точки (нестрогое неравенство), найдем значения функции на концах отрезка:
- При $x = -2$, $y = 1$. Координаты точки: $(-2, 1)$.
- При $x = -1$, $y = 1$. Координаты точки: $(-1, 1)$.
Следовательно, на этом участке график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 1)$ и $(-1, 1)$. Обе точки включены в график.

2. Участок на интервале $-1 < x \le 1$

Здесь функция задается уравнением $y = 2x^2 - 1$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2$).

Найдем вершину параболы. Координата $x_0$ вершины вычисляется по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $a=2, b=0$, поэтому $x_0 = 0$. Координата $y_0$ вершины: $y_0 = 2(0)^2 - 1 = -1$. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу $(-1, 1]$.

Теперь рассмотрим поведение функции на границах интервала:
- При $x = 1$ (правая граница, включена в интервал): $y = 2(1)^2 - 1 = 1$. Координаты точки: $(1, 1)$. Эта точка будет закрашенной.
- При $x \to -1^+$ (левая граница, не включена в интервал): $y \to 2(-1)^2 - 1 = 1$. Координаты точки: $(-1, 1)$. Для этого участка параболы точка $(-1, 1)$ является выколотой. Однако, как мы видели в пункте 1, точка $(-1, 1)$ принадлежит графику функции. Это означает, что в точке $x=-1$ разрыва нет, и график является непрерывным.

3. Участок на интервале $1 < x \le 2$

На этом отрезке функция снова является константой: $y=1$. График — горизонтальная прямая линия.
- При $x = 2$ (правая граница, включена в интервал): $y = 1$. Координаты точки: $(2, 1)$.
- При $x \to 1^+$ (левая граница, не включена в интервал): значение функции стремится к 1. Точка $(1, 1)$ была бы выколотой, если бы мы рассматривали только этот участок. Но из анализа второго участка мы знаем, что точка $(1, 1)$ принадлежит графику. Следовательно, в точке $x=1$ функция также непрерывна.

Таким образом, на этом участке график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 1)$ и $(2, 1)$.

Общее описание графика и его свойства

Объединив все три участка, мы получаем единый непрерывный график на отрезке $[-2, 2]$.
- На отрезке $[-2, -1]$ это горизонтальный отрезок на уровне $y=1$.
- На полуинтервале $(-1, 1]$ это часть параболы $y=2x^2-1$, которая соединяет точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ и проходит через свою вершину в точке $(0, -1)$.
- На полуинтервале $(1, 2]$ это снова горизонтальный отрезок на уровне $y=1$.
Весь график можно описать так: он начинается в точке $(-2, 1)$, идет горизонтально до точки $(-1, 1)$, затем опускается по параболе до минимума в точке $(0, -1)$, симметрично поднимается по той же параболе до точки $(1, 1)$ и далее идет горизонтально до точки $(2, 1)$.

Основные свойства функции:
Область определения: $D(y) = [-2, 2]$.
Область значений: $E(y) = [-1, 1]$. Минимальное значение $-1$ достигается в точке $x=0$, а максимальное значение $1$ достигается на отрезках $[-2, -1]$ и $[1, 2]$.
Четность: Функция является четной, так как ее область определения $D(y)=[-2, 2]$ симметрична относительно нуля и $y(-x) = y(x)$ для всех $x \in D(y)$. График функции симметричен относительно оси OY.
Нули функции: $y=0$ при $2x^2-1=0 \implies x^2 = 1/2 \implies x = \pm 1/\sqrt{2}$. Обе точки входят в интервал $(-1, 1]$.
Промежутки монотонности:
- Функция постоянна на $[-2, -1]$.
- Функция убывает на $[-1, 0]$.
- Функция возрастает на $[0, 1]$.
- Функция постоянна на $[1, 2]$.

Ответ: Графиком функции является непрерывная линия на отрезке $[-2, 2]$. Она состоит из трех частей: горизонтального отрезка $y=1$ на $[-2, -1]$, дуги параболы $y=2x^2-1$ на $(-1, 1]$ (с вершиной в точке $(0,-1)$) и горизонтального отрезка $y=1$ на $(1, 2]$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат. Область определения функции $D(y) = [-2, 2]$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

11.25 $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le -1; \\ -2x^3 - 1, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ -2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Для детального решения задачи проанализируем заданную кусочно-непрерывную функцию по пунктам.

а) Область определения функции.

Функция определена на трех участках, которые вместе покрывают всю числовую ось:

• при $x \le -1$, то есть на интервале $(-\infty, -1]$;
• при $-1 < x \le 1$, то есть на интервале $(-1, 1]$;
• при $x > 1$, то есть на интервале $(1, +\infty)$.

Объединение этих интервалов дает множество всех действительных чисел.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Непрерывность и точки разрыва.

На каждом из интервалов $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$ функция задана элементарными непрерывными функциями ($y=2$, $y=-2x^3-1$, $y=-2$). Исследуем поведение функции в точках стыка $x=-1$ и $x=1$.

Для точки $x=-1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to -1-0} y(x) = \lim_{x \to -1-0} 2 = 2$.
• Значение функции в точке: $y(-1) = 2$ (согласно условию $x \le -1$).
• Предел справа: $\lim_{x \to -1+0} y(x) = \lim_{x \to -1+0} (-2x^3 - 1) = -2(-1)^3 - 1 = 2 - 1 = 1$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($2 \neq 1$), в точке $x=-1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Для точки $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1-0} y(x) = \lim_{x \to 1-0} (-2x^3 - 1) = -2(1)^3 - 1 = -2 - 1 = -3$.
• Значение функции в точке: $y(1) = -3$ (согласно условию $-1 < x \le 1$).
• Предел справа: $\lim_{x \to 1+0} y(x) = \lim_{x \to 1+0} (-2) = -2$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($-3 \neq -2$), в точке $x=1$ функция также имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция непрерывна на объединении интервалов $(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$. Точки $x=-1$ и $x=1$ являются точками разрыва первого рода.

в) Промежутки монотонности и экстремумы.

Исследуем поведение функции на каждом участке:

• На интервале $(-\infty, -1]$: $y(x) = 2$. Функция постоянна.
• На интервале $(-1, 1]$: $y(x) = -2x^3 - 1$. Найдем производную: $y'(x) = (-2x^3 - 1)' = -6x^2$. Так как $y'(x) = -6x^2 \le 0$ для всех $x$ из этого интервала (равенство достигается только в точке $x=0$), функция убывает на всем интервале $(-1, 1]$.
• На интервале $(1, +\infty)$: $y(x) = -2$. Функция постоянна.

Поскольку функция не меняет характер монотонности (с возрастания на убывание или наоборот), у нее нет точек экстремума (максимума или минимума). Точка $x=0$, где производная равна нулю, является точкой перегиба, а не экстремумом.

Ответ: Функция постоянна на $(-\infty, -1]$ и $(1, +\infty)$, убывает на $(-1, 1]$. Точек экстремума у функции нет.

г) Область значений функции.

Найдем множество всех значений, которые принимает функция $y$.

• При $x \le -1$, значение функции $y=2$.
• При $-1 < x \le 1$, функция непрерывна и убывает. Значение на левой границе (недостижимое) равно $\lim_{x \to -1+0} y(x) = 1$. Значение на правой границе (достижимое) $y(1) = -3$. Таким образом, на этом участке функция принимает все значения из полуинтервала $[-3, 1)$.
• При $x > 1$, значение функции $y=-2$.

Объединим все полученные значения: $\{2\} \cup [-3, 1) \cup \{-2\}$. Заметим, что значение $-2$ содержится в полуинтервале $[-3, 1)$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-3, 1) \cup \{2\}$.

д) Построение графика.

Основываясь на проведенном анализе, строим график функции:

1. Для $x \le -1$ чертим горизонтальный луч $y=2$. Точка $(-1, 2)$ принадлежит графику (закрашена).
2. Для $-1 < x \le 1$ строим график кубической функции $y=-2x^3 - 1$. Он соединяет выколотую точку $(-1, 1)$ и закрашенную точку $(1, -3)$. График проходит через точку $(0, -1)$, где у него горизонтальная касательная.
3. Для $x > 1$ чертим горизонтальный луч $y=-2$. Точка $(1, -2)$ не принадлежит графику (выколота).

График представляет собой три отдельных куска с разрывами в точках $x=-1$ и $x=1$.

Ответ: График функции состоит из горизонтального луча $y=2$ на $(-\infty, -1]$, участка убывающей кубической параболы $y=-2x^3-1$ на $(-1, 1]$ и горизонтального луча $y=-2$ на $(1, +\infty)$. В точках $x=-1$ и $x=1$ имеются разрывы первого рода.

11.26 Функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция $y = h(x)$ чётной или нечётной, если:

а) $h(x) = f(x) \cdot g^2(x)$, $y = f(x)$ — чётная функция, $y = g(x)$ — нечётная функция;

б) $h(x) = f(x) - g(x)$, $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — чётные функции;

в) $h(x) = f(x) + g(x)$, $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — нечётные функции;

г) $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — нечётные функции?

Для того чтобы определить, является ли функция $h(x)$ четной или нечетной, необходимо исследовать значение $h(-x)$.

• Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.
• Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$.

Во всех случаях функции определены на множестве всех действительных чисел, которое является симметричным относительно нуля, поэтому такая проверка корректна.

а) $h(x) = f(x) \cdot g^2(x)$, где $y=f(x)$ — четная функция, а $y=g(x)$ — нечетная функция.

По определению четной функции имеем $f(-x) = f(x)$.
По определению нечетной функции имеем $g(-x) = -g(x)$.

Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g^2(-x) = f(-x) \cdot (g(-x))^2$.
Подставим свойства функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = f(x) \cdot (-g(x))^2 = f(x) \cdot g^2(x)$.
Так как $h(x) = f(x) \cdot g^2(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Следовательно, функция $h(x)$ является четной.

Ответ: четная функция.

б) $h(x) = f(x) - g(x)$, где $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — четные функции.

По определению четной функции имеем $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$.

Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) - g(-x)$.
Подставим свойства функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = f(x) - g(x)$.
Так как $h(x) = f(x) - g(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Следовательно, функция $h(x)$ является четной (разность двух четных функций есть функция четная).

Ответ: четная функция.

в) $h(x) = f(x) + g(x)$, где $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — нечетные функции.

По определению нечетной функции имеем $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.

Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) + g(-x)$.
Подставим свойства функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x))$.
Так как $h(x) = f(x) + g(x)$, мы получили, что $h(-x) = -h(x)$.
Следовательно, функция $h(x)$ является нечетной (сумма двух нечетных функций есть функция нечетная).

Ответ: нечетная функция.

г) $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, где $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — нечетные функции.

По определению нечетной функции имеем $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.

Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$.
Подставим свойства функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x)$.
Так как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Следовательно, функция $h(x)$ является четной (произведение двух нечетных функций есть функция четная).

Ответ: четная функция.

11.27 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 3 + x^2, \text{ если } x \ge 0; \\ h(x), \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$ так, чтобы функция $y = f(x)$ являлась чётной.

По определению, функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Важным условием также является симметричность области определения функции относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит).

В данном случае функция $f(x)$ определена для $x \ge 0$ как $3+x^2$ и для $x < 0$ как $h(x)$. Область определения функции $f(x)$ — это объединение промежутков $[0, +\infty)$ и $(-\infty, 0)$, что составляет множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно нуля, поэтому первое условие четности выполнено.

Теперь необходимо удовлетворить второму условию: $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Нам нужно найти формулу для $h(x)$, которая определена при $x < 0$.

Рассмотрим произвольное отрицательное число $x$, то есть $x < 0$. Для такого $x$ соответствующее ему противоположное число $-x$ будет положительным, то есть $-x > 0$.

Согласно определению функции $f(x)$:
- при $x < 0$ значение функции равно $f(x) = h(x)$;
- при $-x > 0$ значение функции вычисляется по первой формуле: $f(-x) = 3 + (-x)^2$.

Для выполнения условия четности $f(x) = f(-x)$, мы должны приравнять полученные выражения:
$h(x) = 3 + (-x)^2$

Упростим правую часть равенства, учитывая, что $(-x)^2 = x^2$:
$h(x) = 3 + x^2$

Таким образом, для того чтобы функция $y=f(x)$ была четной, при $x < 0$ она должна быть задана формулой $h(x) = 3 + x^2$. В этом случае функция $f(x)$ примет вид $f(x) = 3 + x^2$ для всех действительных $x$, которая действительно является чётной, так как $f(-x) = 3 + (-x)^2 = 3 + x^2 = f(x)$.

Ответ: $h(x) = 3 + x^2$.

11.28 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 4 + 3x^2, \text{ если } x > 0; \\ h(x), \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$ так, чтобы функция $y = f(x)$ являлась нечётной.

По определению, функция $y=f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Также, область определения нечётной функции должна быть симметрична относительно нуля.

Дана функция $f(x) = \begin{cases} 4 + 3x^2, & \text{если } x > 0; \\ h(x), & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Её область определения $D(f) = (- \infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля, поэтому первое условие нечётности выполнено.

Теперь необходимо удовлетворить второе условие: $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим произвольное значение $x > 0$. Для такого $x$ соответствующее значение $-x$ будет отрицательным ($-x < 0$). Согласно заданию, при $x > 0$ имеем $f(x) = 4 + 3x^2$, а при $-x < 0$ имеем $f(-x) = h(-x)$.

Подставим эти выражения в основное свойство нечётной функции $f(-x) = -f(x)$: $h(-x) = -(4 + 3x^2)$ $h(-x) = -4 - 3x^2$

Это равенство связывает значения функции $h$ с положительными значениями $x$. Чтобы найти вид самой функции $h(x)$, которая определена для отрицательных аргументов, сделаем замену переменной. Пусть $z = -x$. Так как $x > 0$, то $z < 0$. Из $z = -x$ следует, что $x = -z$. Подставим $x=-z$ в полученное выше равенство: $h(z) = -4 - 3(-z)^2$ $h(z) = -4 - 3z^2$

Мы получили выражение для функции $h$ для всех её аргументов, так как $z$ принимает все отрицательные значения. Заменив переменную $z$ на $x$, получаем искомую формулу: $h(x) = -4 - 3x^2$

Таким образом, для того чтобы исходная функция $f(x)$ была нечётной, функция $h(x)$ должна быть задана как $h(x) = -4 - 3x^2$ при $x < 0$.

Ответ: $h(x) = -4 - 3x^2$

11.29 Дана функция $y=f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 3 - 2x^2, \text{ если } x > 0; \\ h(x), \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$ так, чтобы функция $y=f(x)$:

а) являлась чётной;

б) являлась нечётной.

а) являлась чётной
По определению, функция $y=f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Нам необходимо задать функцию $h(x)$ для $x < 0$.
Возьмём любое значение $x$ из интервала $(-\infty; 0)$, то есть $x < 0$. Для такого $x$ значение $-x$ будет положительным, то есть $-x > 0$.
Согласно определению функции $f(x)$:
При $x < 0$, имеем $f(x) = h(x)$.
При $-x > 0$, имеем $f(-x) = 3 - 2(-x)^2 = 3 - 2x^2$.
Чтобы функция $f(x)$ была чётной, должно выполняться условие $f(x) = f(-x)$. Следовательно, мы должны приравнять выражения для $f(x)$ и $f(-x)$:
$h(x) = 3 - 2x^2$.
Это и есть искомая функция для $x < 0$.
Ответ: $h(x) = 3 - 2x^2$.

б) являлась нечётной
По определению, функция $y=f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Как и в предыдущем пункте, возьмём любое значение $x < 0$. Тогда $-x > 0$.
При $x < 0$, имеем $f(x) = h(x)$.
При $-x > 0$, имеем $f(-x) = 3 - 2(-x)^2 = 3 - 2x^2$.
Чтобы функция $f(x)$ была нечётной, должно выполняться условие $f(x) = -f(-x)$. Подставим наши выражения:
$h(x) = -(3 - 2x^2)$
Раскроем скобки:
$h(x) = -3 + 2x^2$ или $h(x) = 2x^2 - 3$.
Это и есть искомая функция для $x < 0$.
Ответ: $h(x) = 2x^2 - 3$.

11.30 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2, \text{ если } x \le 0; \\ h(x), \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Задайте, если это возможно, $h(x)$ так, чтобы функция $y = f(x)$:

а) являлась чётной;

б) являлась нечётной.

а) являлась чётной;
Функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения данной функции — все действительные числа, она симметрична относительно нуля.
Мы ищем функцию $h(x)$ для $x > 0$.
Возьмём произвольное $x > 0$. Тогда $-x < 0$.
По определению функции $f(x)$:
При $x > 0$, значение функции равно $f(x) = h(x)$.
При $-x \le 0$, значение функции равно $f(-x) = 1 + (-x)^2 = 1 + x^2$.
Чтобы функция $f(x)$ была чётной, должно выполняться условие $f(x) = f(-x)$. Подставим найденные выражения:
$h(x) = 1 + x^2$.
Это равенство должно выполняться для всех $x > 0$. Таким образом, мы нашли искомую функцию $h(x)$.
Итоговая функция $f(x)$ будет иметь вид: $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2, \text{ если } x \le 0; \\ 1 + x^2, \text{ если } x > 0. \end{cases}$
Это функция $f(x) = 1 + x^2$, которая является чётной.
Ответ: $h(x) = 1 + x^2$.

б) являлась нечётной.
Функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Для нечётной функции, определённой в точке $x = 0$, должно выполняться условие $f(0) = 0$. Это следует из основного определения: $f(-0) = -f(0)$, что равносильно $f(0) = -f(0)$, откуда $2f(0) = 0$ и, следовательно, $f(0) = 0$.
Проверим значение данной нам функции $f(x)$ в точке $x = 0$. Согласно условию, при $x \le 0$ функция задана как $f(x) = 1 + x^2$.
Вычисляем $f(0)$:
$f(0) = 1 + 0^2 = 1$.
Поскольку $f(0) = 1 \ne 0$, необходимое условие для нечётности функции не выполняется. Функция $h(x)$ определена только для $x > 0$ и не может повлиять на значение функции в точке $x=0$.
Следовательно, невозможно задать $h(x)$ так, чтобы функция $y = f(x)$ была нечётной.
Ответ: Невозможно.