Страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

12.26 Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = x^5, \\ y = |x| - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^6, \\ y = 1 - |x|; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^4, \\ y = 4 + |x|; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^7, \\ y = -|x| + 4. \end{cases}$

Для определения числа решений каждой системы уравнений мы проанализируем графики соответствующих функций. Число решений системы равно числу точек пересечения графиков этих функций.

а) Система: $ \begin{cases} y = x^5 \\ y = |x| - 2 \end{cases} $

Первое уравнение $y = x^5$ — это степенная функция с нечетным показателем. Её график — возрастающая кривая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и симметричная относительно него.
Второе уравнение $y = |x| - 2$ задает график модуля, смещенный на 2 единицы вниз. Это V-образная кривая ("галочка") с вершиной в точке $(0, -2)$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:
1. При $x \ge 0$, система принимает вид $y = x^5$ и $y = x - 2$. Ищем решения уравнения $x^5 = x - 2$, или $x^5 - x + 2 = 0$. Пусть $f(x) = x^5 - x + 2$. Её производная $f'(x) = 5x^4 - 1$. На промежутке $x \ge 0$ производная обращается в ноль при $x = \sqrt[4]{1/5}$. В этой точке функция $f(x)$ имеет локальный минимум. Значение функции в этой точке: $f(\sqrt[4]{1/5}) = (\frac{1}{5})^{5/4} - (\frac{1}{5})^{1/4} + 2 = -\frac{4}{5}(\frac{1}{5})^{1/4} + 2$. Так как $\sqrt[4]{1/5} < 1$, то $\frac{4}{5}(\frac{1}{5})^{1/4} < 1$, а значит $f(\sqrt[4]{1/5}) > 0$. Поскольку минимальное значение функции на промежутке $x \ge 0$ положительно, то на этом промежутке решений нет.
2. При $x < 0$, система принимает вид $y = x^5$ и $y = -x - 2$. Ищем решения уравнения $x^5 = -x - 2$, или $x^5 + x + 2 = 0$. Пусть $g(x) = x^5 + x + 2$. Её производная $g'(x) = 5x^4 + 1$ всегда положительна, следовательно, функция $g(x)$ строго возрастает. Значит, она может иметь не более одного корня. Подбором находим, что $g(-1) = (-1)^5 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Следовательно, $x = -1$ является единственным корнем.
Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: 1.

б) Система: $ \begin{cases} y = x^6 \\ y = 1 - |x| \end{cases} $

Функция $y = x^6$ — четная, ее график симметричен относительно оси OY, похож на параболу. Вершина находится в точке $(0, 0)$.
Функция $y = 1 - |x|$ также четная. Ее график — это перевернутая V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 1)$.

Так как обе функции четные, достаточно найти количество решений для $x \ge 0$ и учесть симметрию.
При $x \ge 0$ система сводится к $y = x^6$ и $y = 1 - x$. Получаем уравнение $x^6 = 1 - x$, или $x^6 + x - 1 = 0$.
Пусть $f(x) = x^6 + x - 1$. Заметим, что $f(0) = -1$ и $f(1) = 1$. Так как функция непрерывна, по теореме о промежуточном значении на интервале $(0, 1)$ есть как минимум один корень.
Производная $f'(x) = 6x^5 + 1$ положительна при $x \ge 0$. Следовательно, функция $f(x)$ на этом промежутке строго возрастает и может иметь не более одного корня.
Таким образом, для $x > 0$ есть ровно одно решение. В силу симметрии, для $x < 0$ также будет одно решение. При $x=0$ решения нет ($0^6 \neq 1-|0|$).
Всего система имеет два решения.
Ответ: 2.

в) Система: $ \begin{cases} y = x^4 \\ y = 4 + |x| \end{cases} $

Функция $y = x^4$ — четная, график симметричен относительно оси OY, вершина в $(0, 0)$.
Функция $y = 4 + |x|$ — четная, график — V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 4)$.

Рассмотрим случай $x \ge 0$, когда $|x|=x$. Система принимает вид $y = x^4$ и $y = 4 + x$. Получаем уравнение $x^4 = 4 + x$, или $x^4 - x - 4 = 0$.
Пусть $f(x) = x^4 - x - 4$. Заметим, что $f(1) = 1 - 1 - 4 = -4$ и $f(2) = 16 - 2 - 4 = 10$. Так как функция непрерывна, на интервале $(1, 2)$ есть корень.
Производная $f'(x) = 4x^3 - 1$. На промежутке $x \ge 0$ она обращается в ноль при $x = \sqrt[3]{1/4}$. В этой точке у функции $f(x)$ локальный минимум. Значение в минимуме: $f(\sqrt[3]{1/4}) = (\frac{1}{4})^{4/3} - (\frac{1}{4})^{1/3} - 4 = -\frac{3}{4}(\frac{1}{4})^{1/3} - 4 < 0$.
Так как $f(0) = -4$, минимум отрицателен, а при $x \to \infty$ функция $f(x) \to \infty$, то на промежутке $x \ge 0$ есть ровно один корень.
В силу четности обеих исходных функций, существует и второе, симметричное отрицательное решение. При $x=0$ решения нет ($0^4 \neq 4+|0|$).
Всего система имеет два решения.
Ответ: 2.

г) Система: $ \begin{cases} y = x^7 \\ y = -|x| + 4 \end{cases} $

Функция $y = x^7$ — нечетная, ее график симметричен относительно начала координат и проходит через точку $(0, 0)$.
Функция $y = -|x| + 4$ — четная, ее график — перевернутая V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 4)$.

Рассмотрим два случая:
1. При $x \ge 0$, система принимает вид $y = x^7$ и $y = -x + 4$. Получаем уравнение $x^7 + x - 4 = 0$. Пусть $f(x) = x^7 + x - 4$. Заметим, что $f(1) = 1 + 1 - 4 = -2$ и $f(2) = 128 + 2 - 4 = 126$. Так как функция непрерывна, на интервале $(1, 2)$ есть корень. Производная $f'(x) = 7x^6 + 1$ всегда положительна, значит, функция $f(x)$ строго возрастает и имеет ровно один корень. Этот корень положителен.
2. При $x < 0$, система принимает вид $y = x^7$ и $y = x + 4$. Получаем уравнение $x^7 - x - 4 = 0$. Пусть $g(x) = x^7 - x - 4$. Производная $g'(x) = 7x^6 - 1$. Для $x < 0$ производная обращается в ноль в точке $x = -\sqrt[6]{1/7}$. Это точка локального максимума для $g(x)$ при $x < 0$. Значение функции в этой точке: $g(-\sqrt[6]{1/7}) = -(\frac{1}{7})^{7/6} + (\frac{1}{7})^{1/6} - 4 = \frac{6}{7}(\frac{1}{7})^{1/6} - 4$. Так как $\sqrt[6]{1/7} < 1$, то $\frac{6}{7}(\frac{1}{7})^{1/6} < 1$, а значит, значение в максимуме $g(-\sqrt[6]{1/7})$ отрицательно. Поскольку максимальное значение функции на промежутке $x < 0$ отрицательно, корней на этом промежутке нет.
При $x=0$ решения нет ($0^7 \neq -|0|+4$).
Следовательно, система имеет только одно решение.
Ответ: 1.

12.27 Решите графически неравенство:

а) $x^4 \le \sqrt{x}$;

б) $x^5 < 5 - 4x$;

в) $x^3 \ge |x| - 2$;

г) $-x^4 < \sqrt{x + 1}$.

а) Чтобы решить неравенство $x^4 \le \sqrt{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^4$ и $y = \sqrt{x}$.

Область определения неравенства задается условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. График функции $y = x^4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, более "прижатая" к оси OY, чем стандартная парабола $y=x^2$. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричная относительно оси OX. Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^4 = \sqrt{x}$. Возведем обе части в квадрат (это возможно, так как $x \ge 0$): $(x^4)^2 = (\sqrt{x})^2$ $x^8 = x$ $x^8 - x = 0$ $x(x^7 - 1) = 0$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Графики пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1).

Решением неравенства $x^4 \le \sqrt{x}$ является промежуток, на котором график функции $y = x^4$ расположен не выше графика функции $y = \sqrt{x}$. Из графика видно, что на интервале $(0, 1)$ график $y = x^4$ находится ниже графика $y = \sqrt{x}$. В точках $x=0$ и $x=1$ значения функций равны. Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

б) Чтобы решить неравенство $x^5 < 5 - 4x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^5$ и $y = 5 - 4x$.

График функции $y = x^5$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат, возрастающая на всей числовой оси. График функции $y = 5 - 4x$ — это прямая, убывающая на всей числовой оси. Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $x^5 = 5 - 4x$, или $x^5 + 4x - 5 = 0$. Подбором легко найти корень $x = 1$, так как $1^5 + 4 \cdot 1 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 4x - 5$. Ее производная $f'(x) = 5x^4 + 4$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) > 0$ всегда. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает, и, следовательно, уравнение $f(x)=0$ имеет только один корень. Таким образом, графики пересекаются в единственной точке при $x=1$.

Решением неравенства $x^5 < 5 - 4x$ является промежуток, на котором график функции $y = x^5$ расположен ниже графика функции $y = 5 - 4x$. Так как $y=x^5$ возрастает, а $y=5-4x$ убывает, и они пересекаются в точке $x=1$, то при $x < 1$ график $y=x^5$ будет ниже графика $y=5-4x$. Неравенство строгое, поэтому точка $x=1$ не входит в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

в) Чтобы решить неравенство $x^3 \ge |x| - 2$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = |x| - 2$.

График функции $y = x^3$ — кубическая парабола. График функции $y = |x| - 2$ — это график $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вниз по оси OY. Он представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0; -2). Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^3 = |x| - 2$. Рассмотрим два случая: 1) При $x \ge 0$ уравнение принимает вид $x^3 = x - 2$, или $x^3 - x + 2 = 0$. График функции $y=x^3$ при $x \ge 0$ всегда находится выше графика прямой $y=x-2$. Например, при $x=0$, $0 > -2$. При $x=1$, $1 > -1$. У них нет точек пересечения при $x \ge 0$. 2) При $x < 0$ уравнение принимает вид $x^3 = -x - 2$, или $x^3 + x + 2 = 0$. Подбором находим корень $x = -1$, так как $(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Производная функции $g(x) = x^3 + x + 2$ равна $g'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, значит, функция строго возрастает и имеет только один корень. Таким образом, графики пересекаются в единственной точке при $x=-1$.

Решением неравенства $x^3 \ge |x| - 2$ является промежуток, на котором график функции $y = x^3$ расположен не ниже графика функции $y = |x| - 2$. Из графика видно, что при $x > -1$ график $y=x^3$ лежит выше графика $y=|x|-2$. В точке $x=-1$ их значения равны. Следовательно, решение неравенства — это промежуток $[-1, \infty)$.

Ответ: $x \in [-1, \infty)$.

г) Чтобы решить неравенство $-x^4 < \sqrt{x+1}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = -x^4$ и $y = \sqrt{x+1}$.

Область определения неравенства: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. График функции $y = -x^4$ — это парабола, симметричная графику $y=x^4$ относительно оси OX. Все значения этой функции не положительны ($y \le 0$). График функции $y = \sqrt{x+1}$ — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево. Все значения этой функции не отрицательны ($y \ge 0$). Найдем точки пересечения: $-x^4 = \sqrt{x+1}$. Левая часть уравнения всегда $\le 0$, а правая всегда $\ge 0$. Равенство возможно только если обе части равны 0. $-x^4 = 0$ при $x=0$. $\sqrt{x+1} = 0$ при $x=-1$. Так как нет такого значения $x$, при котором обе функции одновременно равны нулю, у них нет точек пересечения.

На всей области определения $x \ge -1$ значения функции $y=\sqrt{x+1}$ неотрицательны, а значения функции $y=-x^4$ неположительны. Так как графики не пересекаются, то всегда выполняется строгое неравенство $-x^4 < \sqrt{x+1}$. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \in [-1, \infty)$.

Постройте и прочитайте график функции:

12.28 а) $y = -(x + 1)^3$;

б) $y = (x - 1)^3 + 20$;

в) $y = x^3 - 1$;

г) $y = -(x + 3)^3 + 2.$

а) $y = -(x + 1)^3$

Построение графика:
График функции $y = -(x + 1)^3$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг графика $y = x^3$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = (x+1)^3$.
2. Симметричное отражение графика $y = (x+1)^3$ относительно оси Ox. Получаем искомый график $y = -(x+1)^3$.
Центр симметрии графика смещается из точки $(0,0)$ в точку $(-1,0)$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ при $-(x+1)^3 = 0$, то есть при $x = -1$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < -1$, то есть на промежутке $(-\infty; -1)$; $y < 0$ при $x > -1$, то есть на промежутке $(-1; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
7. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox в точке $(-1, 0)$; с осью Oy в точке $(0, -1)$.

Ответ:
График функции $y=-(x+1)^3$ — кубическая парабола, полученная из $y=x^3$ сдвигом на 1 единицу влево и симметричным отражением относительно оси Ox.
Свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=-1$.
4. $y>0$ на интервале $(-\infty; -1)$, $y<0$ на интервале $(-1; +\infty)$.
5. Функция является убывающей на всей области определения.
6. Функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

б) $y = (x - 1)^3 + 20$

Построение графика:
График функции $y = (x - 1)^3 + 20$ получается из графика $y = x^3$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг графика $y = x^3$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получаем $y = (x-1)^3$.
2. Сдвиг графика $y = (x-1)^3$ на 20 единиц вверх вдоль оси Oy. Получаем $y = (x-1)^3 + 20$.
Центр симметрии графика смещается в точку $(1, 20)$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $(x-1)^3 + 20 = 0 \Rightarrow (x-1)^3 = -20 \Rightarrow x-1 = -\sqrt[3]{20} \Rightarrow x = 1-\sqrt[3]{20}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 1-\sqrt[3]{20}$; $y < 0$ при $x < 1-\sqrt[3]{20}$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox в точке $(1-\sqrt[3]{20}, 0)$; с осью Oy при $x=0$, $y=(0-1)^3+20=19$, то есть в точке $(0, 19)$.

Ответ:
График функции $y=(x-1)^3+20$ — кубическая парабола, полученная из $y=x^3$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 20 единиц вверх.
Свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x = 1-\sqrt[3]{20}$.
4. $y>0$ на $(1-\sqrt[3]{20}; +\infty)$, $y<0$ на $(-\infty; 1-\sqrt[3]{20})$.
5. Функция является возрастающей на всей области определения.
6. Функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: $(1-\sqrt[3]{20}, 0)$ и $(0, 19)$.

в) $y = x^3 - 1$

Построение графика:
График функции $y = x^3 - 1$ получается из графика $y = x^3$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
Центр симметрии графика смещается в точку $(0, -1)$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x=1$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 1$; $y < 0$ при $x < 1$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox в точке $(1, 0)$; с осью Oy в точке $(0, -1)$.

Ответ:
График функции $y=x^3-1$ — кубическая парабола, полученная из $y=x^3$ сдвигом на 1 единицу вниз.
Свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=1$.
4. $y>0$ на $(1; +\infty)$, $y<0$ на $(-\infty; 1)$.
5. Функция является возрастающей на всей области определения.
6. Функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

г) $y = -(x + 3)^3 + 2$

Построение графика:
График функции $y = -(x + 3)^3 + 2$ получается из графика $y = x^3$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг графика $y = x^3$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем $y = (x+3)^3$.
2. Симметричное отражение графика $y = (x+3)^3$ относительно оси Ox. Получаем $y = -(x+3)^3$.
3. Сдвиг графика $y = -(x+3)^3$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем $y = -(x+3)^3 + 2$.
Центр симметрии графика смещается в точку $(-3, 2)$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $-(x+3)^3+2=0 \Rightarrow (x+3)^3=2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}-3$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < \sqrt[3]{2}-3$; $y < 0$ при $x > \sqrt[3]{2}-3$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox в точке $(\sqrt[3]{2}-3, 0)$; с осью Oy при $x=0$, $y=-(0+3)^3+2 = -27+2 = -25$, то есть в точке $(0, -25)$.

Ответ:
График функции $y = -(x+3)^3+2$ — кубическая парабола, полученная из $y=x^3$ сдвигом на 3 единицы влево, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 2 единицы вверх.
Свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x = \sqrt[3]{2}-3$.
4. $y>0$ на $(-\infty; \sqrt[3]{2}-3)$, $y<0$ на $(\sqrt[3]{2}-3; +\infty)$.
5. Функция является убывающей на всей области определения.
6. Функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: $(\sqrt[3]{2}-3, 0)$ и $(0, -25)$.

12.29 $y = \begin{cases} |x|, \text{ если } x \leq 0; \\ x^7, \text{ если } 0 < x \leq 1; \\ \frac{1}{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Для полного исследования данной кусочно-заданной функции проанализируем ее по нескольким пунктам.

Исходная функция: $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x \le 0 \\ x^7, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Так как для $x \le 0$ справедливо $|x| = -x$, функцию можно переписать в виде: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 0 \\ x^7, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

1. Область определения и непрерывность

Функция определена для всех значений $x$, так как каждый из трех интервалов $(-\infty, 0]$, $(0, 1]$ и $(1, +\infty)$ покрывает часть действительной оси, и вместе они составляют всю ось. Каждая из функций $y=-x$, $y=x^7$ и $y=1/x$ непрерывна в своей области определения. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=0$ и $x=1$.

В точке $x=0$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^7) = 0^7 = 0$.
• Значение функции: $y(0) = -0 = 0$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна при $x=0$.

В точке $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^7) = 1^7 = 1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{1} = 1$.
• Значение функции: $y(1) = 1^7 = 1$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна при $x=1$.
Ответ: Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Функция непрерывна на всей области определения.

2. Производная и дифференцируемость

Найдем производную для каждого участка, исключая точки стыка: $y'(x) = \begin{cases} (-x)', & \text{если } x < 0 \\ (x^7)', & \text{если } 0 < x < 1 \\ (\frac{1}{x})', & \text{если } x > 1 \end{cases} = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 0 \\ 7x^6, & \text{если } 0 < x < 1 \\ -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проверим дифференцируемость в точках $x=0$ и $x=1$, сравнив односторонние производные.

В точке $x=0$:

• Производная слева: $y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} y'(x) = -1$.
• Производная справа: $y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} (7x^6) = 0$.

Так как $y'_{-}(0) \ne y'_{+}(0)$, функция в точке $x=0$ недифференцируема.

В точке $x=1$:

• Производная слева: $y'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} (7x^6) = 7 \cdot 1^6 = 7$.
• Производная справа: $y'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{1^2} = -1$.

Так как $y'_{-}(1) \ne y'_{+}(1)$, функция в точке $x=1$ недифференцируема.
Ответ: Производная функции существует для всех $x$, кроме $x=0$ и $x=1$. В точках $x=0$ и $x=1$ функция недифференцируема (имеет излом).

3. Интервалы монотонности и точки экстремума

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная не существует в точках $x=0$ и $x=1$. Проверим, где $y'(x)=0$: ни на одном из интервалов производная не обращается в ноль. Таким образом, критические точки — это $x=0$ и $x=1$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $y'(x) = -1 < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (0, 1)$, $y'(x) = 7x^6 > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (1, \infty)$, $y'(x) = -1/x^2 < 0$, следовательно, функция убывает.

Анализ смены знака производной в критических точках позволяет найти экстремумы:

• В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.
• В точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 1$.

Ответ: Функция возрастает на интервале $(0, 1)$ и убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$. Точка локального минимума: $(0, 0)$. Точка локального максимума: $(1, 1)$.

4. Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную: $y''(x) = \begin{cases} (-1)', & \text{если } x < 0 \\ (7x^6)', & \text{если } 0 < x < 1 \\ (-\frac{1}{x^2})', & \text{если } x > 1 \end{cases} = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 42x^5, & \text{если } 0 < x < 1 \\ \frac{2}{x^3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проанализируем знак второй производной:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $y''(x) = 0$. График является прямой линией.
• При $x \in (0, 1)$, $y''(x) = 42x^5 > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (1, \infty)$, $y''(x) = 2/x^3 > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).

Точка перегиба — это точка, в которой меняется направление выпуклости. В точке $x=0$ происходит смена с прямолинейного участка на выпуклый вниз, поэтому $(0,0)$ является точкой перегиба. В точке $x=1$ направление выпуклости не меняется.
Ответ: Функция выпукла вниз на интервалах $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. На интервале $(-\infty, 0)$ график является отрезком прямой. Точка перегиба: $(0, 0)$.

5. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты. Так как функция непрерывна на всей числовой оси, вертикальные асимптоты отсутствуют.
• Горизонтальные асимптоты. Проверим пределы на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$. $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to -\infty$ нет.
• Наклонные асимптоты. Ищем асимптоту вида $y=kx+b$ при $x \to -\infty$. $k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} = -1$. $b = \lim_{x \to -\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to -\infty} (-x - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} 0 = 0$. Следовательно, $y = -x$ — наклонная асимптота при $x \to -\infty$. Фактически, график функции совпадает с этой асимптотой при $x \le 0$.

Ответ: Горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$ — это прямая $y=0$. Наклонная асимптота при $x \to -\infty$ — это прямая $y=-x$. Вертикальные асимптоты отсутствуют.

6. Область значений и эскиз графика

Проанализируем значения, которые принимает функция:

• На $(-\infty, 0]$, $y = -x$, значения изменяются от $+\infty$ до $0$. Область значений $[0, +\infty)$.
• На $(0, 1]$, $y = x^7$, значения изменяются от $0$ до $1$. Область значений $(0, 1]$.
• На $(1, \infty)$, $y = 1/x$, значения изменяются от $1$ до $0$. Область значений $(0, 1)$.

Объединяя все полученные множества значений, получаем область значений всей функции.
График функции состоит из трех частей. Для $x \le 0$ это луч $y=-x$, выходящий из начала координат. Для $0 < x \le 1$ это кривая $y=x^7$, которая плавно соединяется с началом координат и идет до точки $(1,1)$, будучи выпуклой вниз. Для $x > 1$ это ветвь гиперболы $y=1/x$, которая начинается от точки $(1,1)$ (не включая ее) и асимптотически приближается к оси $Ox$.
Ответ: Область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

12.30 $y = \begin{cases} 1, \text{ если } -3 \le x \le -1; \\ x^6, \text{ если } -1 < x \le 1; \\ x, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Проведем полное исследование заданной кусочно-непрерывной функции:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ x^6, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция определена на объединении трех промежутков: $[-3, -1]$, $(-1, 1]$ и $(1, \infty)$. Таким образом, область определения функции $D(y)$ есть объединение этих промежутков.

$D(y) = [-3, -1] \cup (-1, 1] \cup (1, \infty) = [-3, \infty)$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = [-3, \infty)$.

2. Исследование на непрерывность и точки разрыва

На каждом из интервалов $(-3, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$ функция задана элементарными функциями ($y=1$, $y=x^6$, $y=x$), которые непрерывны на всей числовой оси. Следовательно, функция непрерывна внутри этих интервалов. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x = -1$ и $x = 1$.

• Проверка в точке $x = -1$:

  Значение функции в точке: $y(-1) = 1$ (согласно первому условию).

  Левосторонний предел: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} 1 = 1$.

  Правосторонний предел: $\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} x^6 = (-1)^6 = 1$.

  Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке равны ($\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) = y(-1)$), функция непрерывна в точке $x = -1$.

• Проверка в точке $x = 1$:

  Значение функции в точке: $y(1) = 1^6 = 1$ (согласно второму условию).

  Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} x^6 = 1^6 = 1$.

  Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$.

  Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке ($\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1)$), функция непрерывна в точке $x = 1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей своей области определения $D(y) = [-3, \infty)$. Точек разрыва нет.

3. Нахождение производной, исследование на монотонность и экстремумы

Найдем производную функции на каждом из интервалов, где она задана:

$y' = \begin{cases} (1)', & \text{если } -3 < x < -1 \\ (x^6)', & \text{если } -1 < x < 1 \\ (x)', & \text{если } x > 1 \end{cases} = \begin{cases} 0, & \text{если } -3 < x < -1 \\ 6x^5, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проверим существование производной в точках $x=-1$ и $x=1$, найдя односторонние производные:

• В точке $x = -1$: $y'(-1^-) = 0$ и $y'(-1^+) = 6(-1)^5 = -6$. Так как $y'(-1^-) \neq y'(-1^+)$, производная в точке $x = -1$ не существует.
• В точке $x = 1$: $y'(1^-) = 6(1)^5 = 6$ и $y'(1^+) = 1$. Так как $y'(1^-) \neq y'(1^+)$, производная в точке $x = 1$ не существует.

Критические точки – это точки, где производная равна нулю или не существует.

• $y' = 0$ при $x \in (-3, -1)$ и при $x=0$ (из $6x^5=0$).
• $y'$ не существует в точках $x=-1$ и $x=1$.

Итак, критические точки: $x=0$ и все точки отрезка $[-3, 1]$.

Исследуем знаки производной для определения промежутков монотонности:

• На интервале $(-3, -1)$: $y' = 0$, функция постоянна.
• На интервале $(-1, 0)$: $y' = 6x^5 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0, 1)$: $y' = 6x^5 > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1, \infty)$: $y' = 1 > 0$, функция возрастает.

Определим точки экстремума:

• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0^6 = 0$. Это также и глобальный минимум функции.
• Точки отрезка $[-3, -1]$ являются точками нестрогого локального максимума, так как $y(x)=1$ на этом отрезке, а вблизи (справа от $x=-1$) значения функции меньше 1. $y_{max} = 1$.

Ответ: Функция постоянна на отрезке $[-3, -1]$, убывает на интервале $(-1, 0)$ и возрастает на $(0, \infty)$. Точка локального (и глобального) минимума $x=0$, $y_{min}=0$. Точки отрезка $[-3, -1]$ являются точками нестрогого локального максимума, $y_{max}=1$.

4. Исследование на выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y'' = \begin{cases} 0, & \text{если } -3 < x < -1 \\ 30x^4, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 0, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проанализируем знак второй производной:

• На интервале $(-3, -1)$: $y'' = 0$, график является отрезком прямой.
• На интервале $(-1, 1)$: $y'' = 30x^4 \ge 0$. График функции является вогнутым (выпуклым вниз).
• На интервале $(1, \infty)$: $y'' = 0$, график является лучом прямой.

Точки, в которых меняется направление выпуклости, – это $x=-1$ (переход от прямой к вогнутой кривой) и $x=1$ (переход от вогнутой кривой к прямой). Хотя это точки излома, в них происходит смена характера выпуклости графика.

Ответ: График функции является вогнутым (выпуклым вниз) на интервале $(-1, 1)$. На промежутках $[-3, -1]$ и $(1, \infty)$ график является прямолинейным. Точки смены выпуклости: $x=-1$ и $x=1$.

5. Нахождение асимптот

• Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция непрерывна на всей области определения.
• Горизонтальные асимптоты: отсутствуют, так как $\lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} x = \infty$.
• Наклонные асимптоты: ищем асимптоту вида $y = kx+b$ при $x \to \infty$.
  $k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$.
  $b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (x - 1 \cdot x) = 0$.
  Следовательно, прямая $y=x$ является наклонной асимптотой при $x \to \infty$. Фактически, график функции совпадает с этой асимптотой при $x > 1$.

Ответ: Вертикальных и горизонтальных асимптот нет. Прямая $y=x$ является наклонной асимптотой на $+\infty$.

6. Построение графика

На основе проведенного анализа строим график функции.

1. На отрезке $[-3, -1]$ рисуем горизонтальный отрезок прямой $y=1$ между точками $(-3, 1)$ и $(-1, 1)$.
2. На промежутке $(-1, 1]$ рисуем кривую $y=x^6$. Она плавно соединяет точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, проходя через точку минимума $(0, 0)$.
3. Для $x>1$ рисуем луч $y=x$, выходящий из точки $(1, 1)$ под углом 45 градусов.

В результате получается непрерывный график с двумя угловыми точками (изломами) в $x=-1$ и $x=1$.

Ответ: График построен на основании результатов исследования.

12.31 $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < -1; \\ x^{11}, & \text{если } -1 \leq x \leq 1; \\ (x-1)^4 + 1, & \text{если } 1 < x \leq 3. \end{cases}$

Проведем полное исследование данной кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < -1; \\ x^{11}, & \text{если } -1 \le x \le 1; \\ (x-1)^4 + 1, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция определена на объединении трех промежутков: $(-\infty, -1)$, $[-1, 1]$ и $(1, 3]$. Объединяя эти промежутки, получаем область определения функции $D(y) = (-\infty, 3]$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty, 3]$.

2. Исследование функции на непрерывность и точки разрыва

На каждом из интервалов $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, 3)$ функция задана элементарными функциями, которые непрерывны на этих интервалах. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x = -1$ и $x = 1$.

Для точки $x = -1$:

Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке:

Левосторонний предел: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{-1} = -1$.

Значение функции в точке: $y(-1) = (-1)^{11} = -1$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} x^{11} = (-1)^{11} = -1$.

Так как $\lim_{x \to -1^-} y(x) = y(-1) = \lim_{x \to -1^+} y(x)$, функция непрерывна в точке $x = -1$.

Для точки $x = 1$:

Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке:

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} x^{11} = 1^{11} = 1$.

Значение функции в точке: $y(1) = 1^{11} = 1$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} ((x-1)^4 + 1) = (1-1)^4 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Так как $\lim_{x \to 1^-} y(x) = y(1) = \lim_{x \to 1^+} y(x)$, функция непрерывна в точке $x = 1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 3]$. Точек разрыва нет.

3. Исследование функции на монотонность и экстремумы

Найдем производную функции на каждом из интервалов:

$y' = \begin{cases} -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x < -1; \\ 11x^{10}, & \text{если } -1 < x < 1; \\ 4(x-1)^3, & \text{если } 1 < x < 3. \end{cases}$

Найдем критические точки функции. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

$y' = 0$:

На интервале $(-\infty, -1)$ уравнение $-\frac{1}{x^2} = 0$ не имеет решений.

На интервале $(-1, 1)$ уравнение $11x^{10} = 0$ имеет решение $x=0$.

На интервале $(1, 3)$ уравнение $4(x-1)^3 = 0$ имеет решение $x=1$, которое не входит в данный интервал.

Таким образом, единственная стационарная точка - $x=0$.

Производная не существует в точках $x=-1$ и $x=1$, так как в этих точках меняется аналитическое выражение для функции. Проверим значения односторонних производных:

В точке $x=-1$: $y'(-1^-) = \lim_{x \to -1^-} (-\frac{1}{x^2}) = -1$; $y'(-1^+) = \lim_{x \to -1^+} (11x^{10}) = 11$. Так как $y'(-1^-) \neq y'(-1^+)$, производная в точке $x=-1$ не существует.

В точке $x=1$: $y'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (11x^{10}) = 11$; $y'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (4(x-1)^3) = 0$. Так как $y'(1^-) \neq y'(1^+)$, производная в точке $x=1$ не существует.

Критические точки: $x=-1$, $x=0$, $x=1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения:

При $x \in (-\infty, -1)$: $y' = -\frac{1}{x^2} < 0$, функция убывает.

При $x \in (-1, 1)$: $y' = 11x^{10} \ge 0$, функция возрастает (в точке $x=0$ производная равна 0, но знак не меняется).

При $x \in (1, 3)$: $y' = 4(x-1)^3 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-1$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = -1$.

В точке $x=0$ производная не меняет знак, экстремума нет.

В точке $x=1$ производная не меняет знак, экстремума нет.

На левой границе области определения ($x \to -\infty$) функция стремится к 0. На правой границе ($x=3$) значение функции $y(3) = (3-1)^4+1 = 17$.

Сравнивая значения в точке минимума и на границах, заключаем, что $y_{min} = -1$ является глобальным минимумом, а $y(3)=17$ - глобальным максимумом на области определения.

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, 3]$. Точка минимума $x=-1$, $y_{min}=-1$. Точка максимума (на границе области определения) $x=3$, $y_{max}=17$.

4. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \begin{cases} (\-x^{-2})' = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}, & \text{если } x < -1; \\ (11x^{10})' = 110x^9, & \text{если } -1 < x < 1; \\ (4(x-1)^3)' = 12(x-1)^2, & \text{если } 1 < x < 3. \end{cases}$

Определим знаки второй производной:

При $x \in (-\infty, -1)$: $x^3 < 0$, поэтому $y'' = \frac{2}{x^3} < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).

При $x \in (-1, 0)$: $x^9 < 0$, поэтому $y'' = 110x^9 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).

При $x \in (0, 1)$: $x^9 > 0$, поэтому $y'' = 110x^9 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

При $x \in (1, 3)$: $(x-1)^2 > 0$, поэтому $y'' = 12(x-1)^2 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак (с "-" на "+"), и функция в этой точке непрерывна. Следовательно, $x=0$ - точка перегиба. Координаты точки перегиба: $(0, y(0)) = (0, 0)$.

В точках $x=-1$ и $x=1$ вторая производная не существует. В точке $x=-1$ знак $y''$ не меняется (слева "–", справа "–"). В точке $x=1$ знак $y''$ не меняется (слева "+", справа "+").

Ответ: График функции является выпуклым вверх (вогнутым) на промежутке $(-\infty, 0)$ и выпуклым вниз (выпуклым) на промежутке $(0, 3]$. Точка перегиба: $(0, 0)$.

5. Нахождение асимптот графика функции

Вертикальные асимптоты:

Поскольку функция непрерывна на всей своей области определения $(-\infty, 3]$, вертикальных асимптот нет.

Горизонтальные асимптоты:

Исследуем поведение функции при $x \to -\infty$ (правая часть области определения ограничена):

$\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$.

Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Наклонные асимптоты:

При $x \to -\infty$ уже есть горизонтальная асимптота, поэтому наклонной асимптоты нет. При $x \to +\infty$ функция не определена.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.

6. Построение графика функции

Основываясь на проведенном исследовании, построим график функции. Обобщим результаты:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, 3]$.
• Область значений: $E(y) = [-1, 17]$.
• Функция непрерывна.
• Асимптота: $y=0$ при $x \to -\infty$.
• Убывает на $(-\infty, -1]$, возрастает на $[-1, 3]$.
• Глобальный минимум в точке $(-1, -1)$.
• Глобальный максимум в точке $(3, 17)$.
• Выпукла вверх на $(-\infty, 0)$, выпукла вниз на $(0, 3]$.
• Точка перегиба: $(0, 0)$.
• Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(3, 17)$.

График состоит из трех частей:

1. При $x < -1$: ветвь гиперболы $y=1/x$, расположенная в третьей четверти. График приближается к оси $Ox$ ($y=0$) слева и заканчивается в точке $(-1, -1)$. На этом участке функция убывает и выпукла вверх.
2. При $-1 \le x \le 1$: часть графика функции $y=x^{11}$. Он проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. В точке $(0,0)$ у графика горизонтальная касательная и это точка перегиба. На этом участке функция возрастает.
3. При $1 < x \le 3$: часть графика функции $y=(x-1)^4+1$. Это парабола четвертой степени, смещенная на 1 вправо и на 1 вверх. График начинается из точки $(1, 1)$ и заканчивается в точке $(3, 17)$. На этом участке функция возрастает и выпукла вниз.

В точках "стыка" $x=-1$ и $x=1$ график имеет изломы (угловые точки), так как односторонние производные не равны.

Ответ: График построен на основе совокупности данных, полученных в ходе исследования.

12.32 $y = \begin{cases} - \frac{2}{x}, & \text{если } x < 0; \\ x^{12}, & \text{если } 0 \le x \le 1; \\ 1, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Проанализируем заданную кусочно-заданную функцию:

$$y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0; \\ x^{12}, & \text{если } 0 \le x \le 1; \\ 1, & \text{если } x > 1. \end{cases}$$

Область определения функции

Функция определена для трех участков, которые вместе покрывают всю числовую ось.
- При $x < 0$ выражение $-\frac{2}{x}$ определено, так как знаменатель не равен нулю.
- При $0 \le x \le 1$ выражение $x^{12}$ определено.
- При $x > 1$ выражение $1$ определено.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Исследование функции на непрерывность

Функция непрерывна на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$, так как на них она задана элементарными непрерывными функциями. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=0$ и $x=1$.

Проверка в точке $x=0$:
Значение функции в точке: $y(0) = 0^{12} = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(-\frac{2}{x}\right) = +\infty$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^{12}) = 0$.
Так как левосторонний предел не равен значению функции в точке (он равен бесконечности), функция имеет разрыв в точке $x=0$. Это разрыв второго рода, а прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.

Проверка в точке $x=1$:
Значение функции в точке: $y(1) = 1^{12} = 1$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^{12}) = 1^{12} = 1$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (1) = 1$.
Так как $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1)$, функция непрерывна в точке $x=1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки $x=0$, где она имеет разрыв второго рода.

Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Найдем производную функции на каждом из интервалов:
- При $x < 0$: $y' = \left(-\frac{2}{x}\right)' = (-2x^{-1})' = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для всех $x < 0$, то $y' > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.
- При $0 < x < 1$: $y' = (x^{12})' = 12x^{11}$. Так как $x > 0$ на этом интервале, то $y' > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на интервале $(0, 1)$.
- При $x > 1$: $y' = (1)' = 0$. Следовательно, функция постоянна на интервале $(1, +\infty)$.

Анализ точек экстремума:
Точка $x=0$: Слева от точки $x=0$ (при $x \to 0^-$) функция стремится к $+\infty$. Справа от точки $x=0$ (при $x > 0$) значения функции $y=x^{12}$ положительны. Значение функции в самой точке $y(0) = 0$. Так как $y(x) > y(0)$ для всех $x$ в некоторой проколотой окрестности точки $0$, то $x=0$ является точкой локального минимума.
Точка $x=1$: Слева от точки $x=1$ (при $x < 1$) функция возрастает, а справа (при $x \ge 1$) — постоянна и равна $y(1)=1$. Поскольку при $x \in [0, 1)$ имеем $y(x) = x^{12} < 1$, а при $x \ge 1$ имеем $y(x)=1$, то точка $x=1$ является точкой локального максимума. Все точки $x \ge 1$ также являются точками нестрогого локального максимума.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[0, 1]$. Функция постоянна на промежутке $[1, +\infty)$. Точка $x=0$ — точка локального минимума, $y_{min} = 0$. Точка $x=1$ — точка локального максимума, $y_{max} = 1$.

Область значений функции

Определим, какие значения принимает функция на каждом из участков:
- При $x \in (-\infty, 0)$, функция $y = -2/x$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.
- При $x \in [0, 1]$, функция $y = x^{12}$ принимает все значения из отрезка $[0, 1]$.
- При $x \in (1, +\infty)$, функция $y = 1$ принимает единственное значение $1$.
Объединяя все полученные множества значений $(0, +\infty) \cup [0, 1] \cup \{1\}$, получаем область значений всей функции.

Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

Построение графика функции

Для построения графика используем полученные выше результаты. График состоит из трех частей:
1. На интервале $(-\infty, 0)$ строим ветвь гиперболы $y = -2/x$, находящуюся во второй координатной четверти. График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ и вертикальную асимптоту $x=0$, к которой он стремится вверх при $x \to 0^-$.
2. На отрезке $[0, 1]$ строим график функции $y = x^{12}$. Он выходит из точки $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(1, 1)$. Кривая очень пологая у начала координат и резко возрастает при приближении к $x=1$.
3. На интервале $(1, +\infty)$ строим график функции $y=1$. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(1, 1)$ вправо.
В точке $x=1$ график имеет "излом" (угловую точку), так как производная слева $y'_-(1)=12$, а производная справа $y'_+(1)=0$.

Ответ: График состоит из ветви гиперболы в левой полуплоскости, кривой $y=x^{12}$ на отрезке $[0, 1]$ и горизонтального луча $y=1$ для $x>1$. В точке $x=0$ график имеет бесконечный разрыв (вертикальная асимптота), а в точке $x=1$ — угловую точку.