Номер 12.32, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.32 $y = \begin{cases} - \frac{2}{x}, & \text{если } x < 0; \\ x^{12}, & \text{если } 0 \le x \le 1; \\ 1, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Проанализируем заданную кусочно-заданную функцию:

$$y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0; \\ x^{12}, & \text{если } 0 \le x \le 1; \\ 1, & \text{если } x > 1. \end{cases}$$

Область определения функции

Функция определена для трех участков, которые вместе покрывают всю числовую ось.
- При $x < 0$ выражение $-\frac{2}{x}$ определено, так как знаменатель не равен нулю.
- При $0 \le x \le 1$ выражение $x^{12}$ определено.
- При $x > 1$ выражение $1$ определено.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Исследование функции на непрерывность

Функция непрерывна на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$, так как на них она задана элементарными непрерывными функциями. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=0$ и $x=1$.

Проверка в точке $x=0$:
Значение функции в точке: $y(0) = 0^{12} = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(-\frac{2}{x}\right) = +\infty$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^{12}) = 0$.
Так как левосторонний предел не равен значению функции в точке (он равен бесконечности), функция имеет разрыв в точке $x=0$. Это разрыв второго рода, а прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.

Проверка в точке $x=1$:
Значение функции в точке: $y(1) = 1^{12} = 1$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^{12}) = 1^{12} = 1$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (1) = 1$.
Так как $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1)$, функция непрерывна в точке $x=1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки $x=0$, где она имеет разрыв второго рода.

Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Найдем производную функции на каждом из интервалов:
- При $x < 0$: $y' = \left(-\frac{2}{x}\right)' = (-2x^{-1})' = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для всех $x < 0$, то $y' > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.
- При $0 < x < 1$: $y' = (x^{12})' = 12x^{11}$. Так как $x > 0$ на этом интервале, то $y' > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на интервале $(0, 1)$.
- При $x > 1$: $y' = (1)' = 0$. Следовательно, функция постоянна на интервале $(1, +\infty)$.

Анализ точек экстремума:
Точка $x=0$: Слева от точки $x=0$ (при $x \to 0^-$) функция стремится к $+\infty$. Справа от точки $x=0$ (при $x > 0$) значения функции $y=x^{12}$ положительны. Значение функции в самой точке $y(0) = 0$. Так как $y(x) > y(0)$ для всех $x$ в некоторой проколотой окрестности точки $0$, то $x=0$ является точкой локального минимума.
Точка $x=1$: Слева от точки $x=1$ (при $x < 1$) функция возрастает, а справа (при $x \ge 1$) — постоянна и равна $y(1)=1$. Поскольку при $x \in [0, 1)$ имеем $y(x) = x^{12} < 1$, а при $x \ge 1$ имеем $y(x)=1$, то точка $x=1$ является точкой локального максимума. Все точки $x \ge 1$ также являются точками нестрогого локального максимума.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[0, 1]$. Функция постоянна на промежутке $[1, +\infty)$. Точка $x=0$ — точка локального минимума, $y_{min} = 0$. Точка $x=1$ — точка локального максимума, $y_{max} = 1$.

Область значений функции

Определим, какие значения принимает функция на каждом из участков:
- При $x \in (-\infty, 0)$, функция $y = -2/x$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.
- При $x \in [0, 1]$, функция $y = x^{12}$ принимает все значения из отрезка $[0, 1]$.
- При $x \in (1, +\infty)$, функция $y = 1$ принимает единственное значение $1$.
Объединяя все полученные множества значений $(0, +\infty) \cup [0, 1] \cup \{1\}$, получаем область значений всей функции.

Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

Построение графика функции

Для построения графика используем полученные выше результаты. График состоит из трех частей:
1. На интервале $(-\infty, 0)$ строим ветвь гиперболы $y = -2/x$, находящуюся во второй координатной четверти. График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ и вертикальную асимптоту $x=0$, к которой он стремится вверх при $x \to 0^-$.
2. На отрезке $[0, 1]$ строим график функции $y = x^{12}$. Он выходит из точки $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(1, 1)$. Кривая очень пологая у начала координат и резко возрастает при приближении к $x=1$.
3. На интервале $(1, +\infty)$ строим график функции $y=1$. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(1, 1)$ вправо.
В точке $x=1$ график имеет "излом" (угловую точку), так как производная слева $y'_-(1)=12$, а производная справа $y'_+(1)=0$.

Ответ: График состоит из ветви гиперболы в левой полуплоскости, кривой $y=x^{12}$ на отрезке $[0, 1]$ и горизонтального луча $y=1$ для $x>1$. В точке $x=0$ график имеет бесконечный разрыв (вертикальная асимптота), а в точке $x=1$ — угловую точку.