Номер 12.35, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.35 Докажите, что уравнение не имеет корней:

a) $x^4 + x^2 + 1 = 0;$

б) $x^6 - x + 3 = 0;$

в) $x^4 + x^2 - 2x + 3 = 0;$

г) $x^6 - \sqrt{x - 1} = 0.$

а) Для того чтобы доказать, что уравнение $x^4 + x^2 + 1 = 0$ не имеет корней, рассмотрим его левую часть. Для любого действительного числа $x$ справедливы следующие неравенства:
1. $x^4 \ge 0$, так как любое число в чётной степени неотрицательно.
2. $x^2 \ge 0$ по той же причине.
Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна: $x^4 + x^2 \ge 0$.
Если прибавить к обеим частям этого неравенства 1, получим: $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$.
Таким образом, левая часть уравнения всегда больше или равна 1, а значит, никогда не может быть равна 0. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

б) Чтобы доказать, что уравнение $x^6 - x + 3 = 0$ не имеет корней, покажем, что его левая часть всегда положительна. Для этого рассмотрим два возможных случая для переменной $x$.
1. Пусть $x \le 1$. В этом случае разность $1 - x$ неотрицательна: $1 - x \ge 0$. Перепишем левую часть уравнения в виде $x^6 + (1 - x) + 2$. Поскольку $x^6 \ge 0$ (как чётная степень) и $1-x \ge 0$ по нашему условию, то их сумма с числом 2 будет не меньше 2: $x^6 + (1 - x) + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$. Таким образом, при $x \le 1$ левая часть уравнения строго положительна.
2. Пусть $x > 1$. В этом случае $x^5 > 1^5$, то есть $x^5 > 1$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число $x$, получим $x^6 > x$, что равносильно $x^6 - x > 0$. Тогда левая часть исходного уравнения $x^6 - x + 3$ будет строго больше 3, так как является суммой положительного числа $x^6 - x$ и числа 3.
Поскольку левая часть уравнения строго положительна при любых действительных значениях $x$, она не может равняться нулю.
Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

в) Рассмотрим уравнение $x^4 + x^2 - 2x + 3 = 0$. Для доказательства отсутствия корней преобразуем его левую часть, выделив полный квадрат.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $x^4 + (x^2 - 2x + 1) + 2 = 0$.
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$.
Подставив это в уравнение, получим: $x^4 + (x-1)^2 + 2 = 0$.
Теперь проанализируем слагаемые в левой части:
1. $x^4 \ge 0$ для любого $x$.
2. $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Сумма двух неотрицательных выражений также неотрицательна: $x^4 + (x-1)^2 \ge 0$.
Прибавив 2, получим, что левая часть уравнения всегда не меньше 2: $x^4 + (x-1)^2 + 2 \ge 2$.
Так как левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю, уравнение не имеет корней.
Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

г) Утверждение о том, что уравнение $x^6 - \sqrt{x-1} - 1 = 0$ не имеет корней, является неверным.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
Проверим, является ли $x=1$ корнем данного уравнения. Для этого подставим $x=1$ в левую часть:
$1^6 - \sqrt{1-1} - 1 = 1 - \sqrt{0} - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$.
Так как получилось верное равенство $0=0$, значение $x=1$ является корнем уравнения.
Вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Если предположить, что уравнение должно было иметь вид $x^6 - \sqrt{x-1} + 1 = 0$, то оно действительно не имело бы корней. Докажем это для гипотетического уравнения. ОДЗ: $x \ge 1$.
1. Если $x$ находится в промежутке $[1, 2)$, то $0 \le x-1 < 1$, и следовательно, $0 \le \sqrt{x-1} < 1$. Также $x^6 \ge 1$. Тогда левая часть $x^6 - \sqrt{x-1} + 1 > 1 - 1 + 1 = 1$.
2. Если $x \ge 2$, то $x^6 > x$. Также докажем, что $x > \sqrt{x-1}$. Так как обе части неравенства при $x \ge 2$ положительны, можно возвести их в квадрат: $x^2 > x-1$, что эквивалентно $x^2 - x + 1 > 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен, значит, трехчлен всегда принимает положительные значения. Таким образом, $x > \sqrt{x-1}$. Объединяя неравенства, получаем $x^6 \ge x > \sqrt{x-1}$, откуда $x^6 - \sqrt{x-1} > 0$. Тогда левая часть уравнения $x^6 - \sqrt{x-1} + 1 > 0 + 1 = 1$.
В обоих случаях левая часть предполагаемого уравнения $x^6 - \sqrt{x-1} + 1 = 0$ строго больше 1, значит, оно не имеет корней.
Ответ: утверждение для исходного уравнения неверно, так как $x=1$ является его корнем.