Номер 12.38, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.38 Дана функция $y=f(x)$, где $f(x)=x^{10}$. Докажите, что

$f(x^2) \cdot f(x^{-1}) = f(x)$.

Нам дана функция $f(x) = x^{10}$. Требуется доказать, что $f(x^2) \cdot f(x^{-1}) = f(x)$.

Для доказательства этого тождества мы преобразуем его левую часть, используя определение данной функции.

Сначала найдем значение выражения $f(x^2)$. Для этого подставим $x^2$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$: $f(x^2) = (x^2)^{10}$.

Затем найдем значение выражения $f(x^{-1})$. Для этого подставим $x^{-1}$ вместо $x$ в определение функции $f(x)$. Это возможно при $x \neq 0$. $f(x^{-1}) = (x^{-1})^{10}$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства: $f(x^2) \cdot f(x^{-1}) = (x^2)^{10} \cdot (x^{-1})^{10}$.

Упростим это выражение, используя свойства степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(x^2)^{10} = x^{2 \cdot 10} = x^{20}$
$(x^{-1})^{10} = x^{-1 \cdot 10} = x^{-10}$

Теперь произведение принимает вид: $x^{20} \cdot x^{-10}$.

Далее, применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $x^{20} \cdot x^{-10} = x^{20 + (-10)} = x^{20-10} = x^{10}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства, $f(x^2) \cdot f(x^{-1})$, равна $x^{10}$.

Правая часть равенства по условию — это $f(x)$, что, по определению функции, равно $x^{10}$.

Поскольку и левая, и правая части равенства равны $x^{10}$, тождество $f(x^2) \cdot f(x^{-1}) = f(x)$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.