Номер 13.3, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.3 a) $y = (x + 3)^{-4}$;

б) $y = \frac{1}{x^5} - 1$;

В) $y = \frac{1}{(x - 2)^7}$;

Г) $y = x^{-2} + 4$.

а) $y = (x + 3)^{-4}$
Для нахождения производной этой функции используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^{-4}$, а внутренняя функция $g(x) = u = x + 3$.
Производная внешней функции: $(u^{-4})' = -4u^{-5}$.
Производная внутренней функции: $(x + 3)' = 1$.
Собираем все вместе:
$y' = -4(x + 3)^{-4-1} \cdot (x + 3)'$
$y' = -4(x + 3)^{-5} \cdot 1$
$y' = -4(x + 3)^{-5}$
Это выражение также можно записать в виде дроби: $y' = -\frac{4}{(x+3)^5}$.
Ответ: $y' = -4(x+3)^{-5}$.

б) $y = \frac{1}{x^5} - 1$
Сначала преобразуем функцию, используя свойство степени с отрицательным показателем: $y = x^{-5} - 1$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования разности функций и правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а также то, что производная константы равна нулю.
$y' = (x^{-5} - 1)' = (x^{-5})' - (1)'$
$(x^{-5})' = -5 \cdot x^{-5-1} = -5x^{-6}$
$(1)' = 0$
Следовательно:
$y' = -5x^{-6} - 0 = -5x^{-6}$
В виде дроби это будет: $y' = -\frac{5}{x^6}$.
Ответ: $y' = -5x^{-6}$.

в) $y = \frac{1}{(x - 2)^7}$
Перепишем функцию, используя отрицательную степень: $y = (x - 2)^{-7}$.
Это сложная функция, поэтому применяем цепное правило. Здесь $u = x - 2$ и $n = -7$.
Производная внутренней функции: $(x - 2)' = 1$.
Применяем формулу производной сложной функции:
$y' = -7(x - 2)^{-7-1} \cdot (x - 2)'$
$y' = -7(x - 2)^{-8} \cdot 1$
$y' = -7(x - 2)^{-8}$
В виде дроби: $y' = -\frac{7}{(x - 2)^8}$.
Ответ: $y' = -7(x-2)^{-8}$.

г) $y = x^{-2} + 4$
Используем правило дифференцирования суммы функций: производная суммы равна сумме производных.
$y' = (x^{-2} + 4)' = (x^{-2})' + (4)'$
Находим производную каждого слагаемого. Для первого используем правило степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а второе слагаемое — константа, производная которой равна нулю.
$(x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3}$
$(4)' = 0$
Складываем результаты:
$y' = -2x^{-3} + 0 = -2x^{-3}$
В виде дроби: $y' = -\frac{2}{x^3}$.
Ответ: $y' = -2x^{-3}$.