Номер 13.5, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.5 Постройте график функции $y = (x - 2)^{-2}$. Найдите промежутки убывания и возрастания функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот.

Исходная функция: $y = (x - 2)^{-2}$, которую можно переписать в виде $y = \frac{1}{(x-2)^2}$.

Постройте график функции

График функции $y = \frac{1}{(x-2)^2}$ получается из графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$ путем горизонтального сдвига на 2 единицы вправо.
Основные характеристики и шаги построения:
1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 2$).
2. Область значений функции: $E(y) = (0; +\infty)$, так как $(x-2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, следовательно $y$ всегда положителен.
3. Симметрия: Функция симметрична относительно вертикальной прямой $x=2$.
4. Асимптоты: У графика есть вертикальная асимптота $x=2$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
5. Контрольные точки: Для уточнения графика найдем координаты нескольких точек:
При $x=1$, $y = \frac{1}{(1-2)^2} = 1$. Точка $(1; 1)$.
При $x=3$, $y = \frac{1}{(3-2)^2} = 1$. Точка $(3; 1)$.
При $x=0$, $y = \frac{1}{(0-2)^2} = \frac{1}{4}$. Точка $(0; 0.25)$.
При $x=4$, $y = \frac{1}{(4-2)^2} = \frac{1}{4}$. Точка $(4; 0.25)$.
График представляет собой две ветви, расположенные в первом и втором квадрантах относительно смещенной системы координат с началом в точке $(2, 0)$. Обе ветви приближаются к асимптотам $x=2$ и $y=0$.

Найдите промежутки убывания и возрастания функции

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак первой производной функции.
$y' = \left( (x-2)^{-2} \right)' = -2(x-2)^{-3} \cdot (x-2)' = \frac{-2}{(x-2)^3}$.
Производная не равна нулю. Точка, в которой производная не определена, это $x=2$. Эта точка делит область определения на два интервала: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 2)$: выберем пробную точку $x=0$. $y'(0) = \frac{-2}{(0-2)^3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} > 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(2; +\infty)$: выберем пробную точку $x=3$. $y'(3) = \frac{-2}{(3-2)^3} = \frac{-2}{1} = -2 < 0$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$ и убывает на промежутке $(2; +\infty)$.

Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот

Вертикальная асимптота находится в точке разрыва функции. Функция $y = \frac{1}{(x-2)^2}$ имеет разрыв при $x=2$. Найдем предел функции при приближении к этой точке:
$\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \left( \frac{1}{0^+} \right) = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота находится путем вычисления предела функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{(x-2)^2} = \left( \frac{1}{\infty} \right) = 0$.
Так как предел равен конечному числу, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: уравнение вертикальной асимптоты: $x=2$; уравнение горизонтальной асимптоты: $y=0$.