Номер 12.39, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^3$. Докажите, что

$(f(x))^9 : f\left(-\frac{1}{2}x^4\right) = f(2x^5)$

Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую и правую части, используя определение функции $f(x) = -x^3$. Знак ":" в выражении означает деление.

Рассмотрим левую часть равенства: $(f(x))^9 : f\left(-\frac{1}{2}x^4\right)$.

Сначала вычислим каждый компонент.

По определению функции, $f(x) = -x^3$. Тогда $(f(x))^9$ будет равно:

$(f(x))^9 = (-x^3)^9 = -x^{3 \cdot 9} = -x^{27}$.

Далее вычислим $f\left(-\frac{1}{2}x^4\right)$. Для этого подставим выражение $-\frac{1}{2}x^4$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f\left(-\frac{1}{2}x^4\right) = -\left(-\frac{1}{2}x^4\right)^3 = -\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (x^4)^3\right) = -\left(-\frac{1}{8}x^{12}\right) = \frac{1}{8}x^{12}$.

Теперь выполним деление, чтобы найти значение всей левой части:

$(f(x))^9 : f\left(-\frac{1}{2}x^4\right) = \frac{-x^{27}}{\frac{1}{8}x^{12}} = -x^{27} \cdot \frac{8}{x^{12}} = -8x^{27-12} = -8x^{15}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $f(2x^5)$.

Подставим выражение $2x^5$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f(2x^5) = -(2x^5)^3 = -(2^3 \cdot (x^5)^3) = -(8 \cdot x^{5 \cdot 3}) = -8x^{15}$.

Сравнивая результаты, полученные для левой и правой частей, видим, что они равны:

$-8x^{15} = -8x^{15}$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: так как левая и правая части равенства равны $-8x^{15}$, тождество $(f(x))^9 : f\left(-\frac{1}{2}x^4\right) = f(2x^5)$ является верным, что и требовалось доказать.