Номер 12.34, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Функции y=x^n (n∈N), их свойства и графики. Глава 3. Числовые функции. ч. 2 - номер 12.34, страница 80.

12.34 а) $y=(|x|-2)^3$;

б) $y=-(|x|+1)^3$.

а) $y = (|x| - 2)^3$

Для решения задачи исследуем функцию и построим ее график.

1. Анализ функции.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как все операции (модуль, вычитание, возведение в куб) выполнимы для любого $x$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Четность: Проверим функцию на четность. $y(-x) = (|-x| - 2)^3 = (|x| - 2)^3 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = (|0| - 2)^3 = (-2)^3 = -8$. Точка пересечения $(0, -8)$.
С осью Ox (при $y=0$): $(|x| - 2)^3 = 0 \implies |x| - 2 = 0 \implies |x| = 2$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Построение графика.

Поскольку функция четная, достаточно построить ее график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = (x - 2)^3$.

График функции $y = (x - 2)^3$ — это график стандартной кубической параболы $y = x^3$, сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Для $x \ge 0$ этот график начинается в точке $(0, -8)$, проходит через точку $(2, 0)$, которая является точкой перегиба с горизонтальной касательной, и далее возрастает.

Построим эту часть графика по нескольким точкам для $x \ge 0$:
Если $x=0$, $y = (0-2)^3 = -8$.
Если $x=1$, $y = (1-2)^3 = -1$.
Если $x=2$, $y = (2-2)^3 = 0$.
Если $x=3$, $y = (3-2)^3 = 1$.
Если $x=4$, $y = (4-2)^3 = 8$.

Теперь отразим построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$. Ветвь для $x<0$ будет проходить через точки $(-1, -1)$, $(-2, 0)$, $(-3, 1)$, $(-4, 8)$ и соединится с первой ветвью в точке $(0, -8)$.

3. Монотонность и экстремумы.

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает. На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает. Точка $x=0$ является точкой минимума. В этой точке график имеет излом (касп). $y_{min} = y(0) = -8$.

4. Область значений.

Минимальное значение функции достигается в точке $x=0$ и равно -8. Максимального значения не существует, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. Область значений $E(y) = [-8, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = (|x| - 2)^3$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет точку минимума (излом) в $(0, -8)$. График пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, которые являются точками перегиба. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Область значений функции: $E(y) = [-8, +\infty)$.

б) $y = -(|x| + 1)^3$

Для решения задачи исследуем функцию и построим ее график.

1. Анализ функции.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Четность: $y(-x) = -(|-x| + 1)^3 = -(|x| + 1)^3 = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -(|0| + 1)^3 = -(1)^3 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-(|x| + 1)^3 = 0 \implies |x| + 1 = 0 \implies |x| = -1$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как модуль числа не может быть отрицательным. Следовательно, график не пересекает ось Ox.

2. Построение графика.

В силу четности, построим график для $x \ge 0$ и отразим его симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -(x + 1)^3$.

График функции $y = -(x + 1)^3$ можно получить из графика $y = x^3$ следующими преобразованиями: 1. Сдвиг на 1 единицу влево: $y = (x+1)^3$. 2. Симметричное отражение относительно оси Ox: $y = -(x+1)^3$.

Мы строим часть графика $y = -(x+1)^3$ только для $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке $(0, -1)$ и убывает по мере роста $x$.

Найдем несколько точек для $x \ge 0$:
Если $x=0$, $y = -(0+1)^3 = -1$.
Если $x=1$, $y = -(1+1)^3 = -8$.
Если $x=2$, $y = -(2+1)^3 = -27$.

Отразив построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, мы получим полную картину. Вторая ветвь для $x < 0$ будет симметрична первой и также будет исходить из точки $(0, -1)$.

3. Монотонность и экстремумы.

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает. На промежутке $[0, +\infty)$ функция убывает. Точка $x=0$ является точкой максимума. В этой точке график имеет излом (пик). $y_{max} = y(0) = -1$.

4. Область значений.

Максимальное значение функции достигается в точке $x=0$ и равно -1. Минимального значения не существует. Область значений $E(y) = (-\infty, -1]$.

Ответ: График функции $y = -(|x| + 1)^3$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет точку максимума (пик) в $(0, -1)$ и полностью расположен под осью Ox. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$. Область значений функции: $E(y) = (-\infty, -1]$.