Номер 12.29, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.29 $y = \begin{cases} |x|, \text{ если } x \leq 0; \\ x^7, \text{ если } 0 < x \leq 1; \\ \frac{1}{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Для полного исследования данной кусочно-заданной функции проанализируем ее по нескольким пунктам.

Исходная функция: $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x \le 0 \\ x^7, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Так как для $x \le 0$ справедливо $|x| = -x$, функцию можно переписать в виде: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 0 \\ x^7, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

1. Область определения и непрерывность

Функция определена для всех значений $x$, так как каждый из трех интервалов $(-\infty, 0]$, $(0, 1]$ и $(1, +\infty)$ покрывает часть действительной оси, и вместе они составляют всю ось. Каждая из функций $y=-x$, $y=x^7$ и $y=1/x$ непрерывна в своей области определения. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=0$ и $x=1$.

В точке $x=0$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^7) = 0^7 = 0$.
• Значение функции: $y(0) = -0 = 0$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна при $x=0$.

В точке $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^7) = 1^7 = 1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{1} = 1$.
• Значение функции: $y(1) = 1^7 = 1$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна при $x=1$.
Ответ: Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Функция непрерывна на всей области определения.

2. Производная и дифференцируемость

Найдем производную для каждого участка, исключая точки стыка: $y'(x) = \begin{cases} (-x)', & \text{если } x < 0 \\ (x^7)', & \text{если } 0 < x < 1 \\ (\frac{1}{x})', & \text{если } x > 1 \end{cases} = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 0 \\ 7x^6, & \text{если } 0 < x < 1 \\ -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проверим дифференцируемость в точках $x=0$ и $x=1$, сравнив односторонние производные.

В точке $x=0$:

• Производная слева: $y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} y'(x) = -1$.
• Производная справа: $y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} (7x^6) = 0$.

Так как $y'_{-}(0) \ne y'_{+}(0)$, функция в точке $x=0$ недифференцируема.

В точке $x=1$:

• Производная слева: $y'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} (7x^6) = 7 \cdot 1^6 = 7$.
• Производная справа: $y'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{1^2} = -1$.

Так как $y'_{-}(1) \ne y'_{+}(1)$, функция в точке $x=1$ недифференцируема.
Ответ: Производная функции существует для всех $x$, кроме $x=0$ и $x=1$. В точках $x=0$ и $x=1$ функция недифференцируема (имеет излом).

3. Интервалы монотонности и точки экстремума

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная не существует в точках $x=0$ и $x=1$. Проверим, где $y'(x)=0$: ни на одном из интервалов производная не обращается в ноль. Таким образом, критические точки — это $x=0$ и $x=1$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $y'(x) = -1 < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (0, 1)$, $y'(x) = 7x^6 > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (1, \infty)$, $y'(x) = -1/x^2 < 0$, следовательно, функция убывает.

Анализ смены знака производной в критических точках позволяет найти экстремумы:

• В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.
• В точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 1$.

Ответ: Функция возрастает на интервале $(0, 1)$ и убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$. Точка локального минимума: $(0, 0)$. Точка локального максимума: $(1, 1)$.

4. Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную: $y''(x) = \begin{cases} (-1)', & \text{если } x < 0 \\ (7x^6)', & \text{если } 0 < x < 1 \\ (-\frac{1}{x^2})', & \text{если } x > 1 \end{cases} = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 42x^5, & \text{если } 0 < x < 1 \\ \frac{2}{x^3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проанализируем знак второй производной:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $y''(x) = 0$. График является прямой линией.
• При $x \in (0, 1)$, $y''(x) = 42x^5 > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (1, \infty)$, $y''(x) = 2/x^3 > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).

Точка перегиба — это точка, в которой меняется направление выпуклости. В точке $x=0$ происходит смена с прямолинейного участка на выпуклый вниз, поэтому $(0,0)$ является точкой перегиба. В точке $x=1$ направление выпуклости не меняется.
Ответ: Функция выпукла вниз на интервалах $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. На интервале $(-\infty, 0)$ график является отрезком прямой. Точка перегиба: $(0, 0)$.

5. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты. Так как функция непрерывна на всей числовой оси, вертикальные асимптоты отсутствуют.
• Горизонтальные асимптоты. Проверим пределы на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$. $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to -\infty$ нет.
• Наклонные асимптоты. Ищем асимптоту вида $y=kx+b$ при $x \to -\infty$. $k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} = -1$. $b = \lim_{x \to -\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to -\infty} (-x - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} 0 = 0$. Следовательно, $y = -x$ — наклонная асимптота при $x \to -\infty$. Фактически, график функции совпадает с этой асимптотой при $x \le 0$.

Ответ: Горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$ — это прямая $y=0$. Наклонная асимптота при $x \to -\infty$ — это прямая $y=-x$. Вертикальные асимптоты отсутствуют.

6. Область значений и эскиз графика

Проанализируем значения, которые принимает функция:

• На $(-\infty, 0]$, $y = -x$, значения изменяются от $+\infty$ до $0$. Область значений $[0, +\infty)$.
• На $(0, 1]$, $y = x^7$, значения изменяются от $0$ до $1$. Область значений $(0, 1]$.
• На $(1, \infty)$, $y = 1/x$, значения изменяются от $1$ до $0$. Область значений $(0, 1)$.

Объединяя все полученные множества значений, получаем область значений всей функции.
График функции состоит из трех частей. Для $x \le 0$ это луч $y=-x$, выходящий из начала координат. Для $0 < x \le 1$ это кривая $y=x^7$, которая плавно соединяется с началом координат и идет до точки $(1,1)$, будучи выпуклой вниз. Для $x > 1$ это ветвь гиперболы $y=1/x$, которая начинается от точки $(1,1)$ (не включая ее) и асимптотически приближается к оси $Ox$.
Ответ: Область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.