Номер 12.28, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

12.28 а) $y = -(x + 1)^3$;

б) $y = (x - 1)^3 + 20$;

в) $y = x^3 - 1$;

г) $y = -(x + 3)^3 + 2.$

а) $y = -(x + 1)^3$

Построение графика:
График функции $y = -(x + 1)^3$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг графика $y = x^3$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = (x+1)^3$.
2. Симметричное отражение графика $y = (x+1)^3$ относительно оси Ox. Получаем искомый график $y = -(x+1)^3$.
Центр симметрии графика смещается из точки $(0,0)$ в точку $(-1,0)$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ при $-(x+1)^3 = 0$, то есть при $x = -1$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < -1$, то есть на промежутке $(-\infty; -1)$; $y < 0$ при $x > -1$, то есть на промежутке $(-1; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
7. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox в точке $(-1, 0)$; с осью Oy в точке $(0, -1)$.

Ответ:
График функции $y=-(x+1)^3$ — кубическая парабола, полученная из $y=x^3$ сдвигом на 1 единицу влево и симметричным отражением относительно оси Ox.
Свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=-1$.
4. $y>0$ на интервале $(-\infty; -1)$, $y<0$ на интервале $(-1; +\infty)$.
5. Функция является убывающей на всей области определения.
6. Функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

б) $y = (x - 1)^3 + 20$

Построение графика:
График функции $y = (x - 1)^3 + 20$ получается из графика $y = x^3$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг графика $y = x^3$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получаем $y = (x-1)^3$.
2. Сдвиг графика $y = (x-1)^3$ на 20 единиц вверх вдоль оси Oy. Получаем $y = (x-1)^3 + 20$.
Центр симметрии графика смещается в точку $(1, 20)$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $(x-1)^3 + 20 = 0 \Rightarrow (x-1)^3 = -20 \Rightarrow x-1 = -\sqrt[3]{20} \Rightarrow x = 1-\sqrt[3]{20}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 1-\sqrt[3]{20}$; $y < 0$ при $x < 1-\sqrt[3]{20}$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox в точке $(1-\sqrt[3]{20}, 0)$; с осью Oy при $x=0$, $y=(0-1)^3+20=19$, то есть в точке $(0, 19)$.

Ответ:
График функции $y=(x-1)^3+20$ — кубическая парабола, полученная из $y=x^3$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 20 единиц вверх.
Свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x = 1-\sqrt[3]{20}$.
4. $y>0$ на $(1-\sqrt[3]{20}; +\infty)$, $y<0$ на $(-\infty; 1-\sqrt[3]{20})$.
5. Функция является возрастающей на всей области определения.
6. Функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: $(1-\sqrt[3]{20}, 0)$ и $(0, 19)$.

в) $y = x^3 - 1$

Построение графика:
График функции $y = x^3 - 1$ получается из графика $y = x^3$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
Центр симметрии графика смещается в точку $(0, -1)$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x=1$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 1$; $y < 0$ при $x < 1$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox в точке $(1, 0)$; с осью Oy в точке $(0, -1)$.

Ответ:
График функции $y=x^3-1$ — кубическая парабола, полученная из $y=x^3$ сдвигом на 1 единицу вниз.
Свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=1$.
4. $y>0$ на $(1; +\infty)$, $y<0$ на $(-\infty; 1)$.
5. Функция является возрастающей на всей области определения.
6. Функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

г) $y = -(x + 3)^3 + 2$

Построение графика:
График функции $y = -(x + 3)^3 + 2$ получается из графика $y = x^3$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг графика $y = x^3$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем $y = (x+3)^3$.
2. Симметричное отражение графика $y = (x+3)^3$ относительно оси Ox. Получаем $y = -(x+3)^3$.
3. Сдвиг графика $y = -(x+3)^3$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем $y = -(x+3)^3 + 2$.
Центр симметрии графика смещается в точку $(-3, 2)$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $-(x+3)^3+2=0 \Rightarrow (x+3)^3=2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}-3$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < \sqrt[3]{2}-3$; $y < 0$ при $x > \sqrt[3]{2}-3$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox в точке $(\sqrt[3]{2}-3, 0)$; с осью Oy при $x=0$, $y=-(0+3)^3+2 = -27+2 = -25$, то есть в точке $(0, -25)$.

Ответ:
График функции $y = -(x+3)^3+2$ — кубическая парабола, полученная из $y=x^3$ сдвигом на 3 единицы влево, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 2 единицы вверх.
Свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x = \sqrt[3]{2}-3$.
4. $y>0$ на $(-\infty; \sqrt[3]{2}-3)$, $y<0$ на $(\sqrt[3]{2}-3; +\infty)$.
5. Функция является убывающей на всей области определения.
6. Функция общего вида.
7. Точки пересечения с осями координат: $(\sqrt[3]{2}-3, 0)$ и $(0, -25)$.