Номер 12.23, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.23 Исследуйте степенную функцию $y = x^n$ на чётность и ограниченность, если известно, что её график проходит через заданную точку:

a) $(-1; 1);$

б) $(-1; -1);$

в) $(1; 1);$

г) $(1; -1).$

Для исследования степенной функции $y = x^n$ на чётность и ограниченность, мы будем использовать информацию о точке, через которую проходит её график. Сначала определим, какие ограничения накладывает заданная точка на показатель степени $n$, а затем проанализируем свойства функции.

Напомним определения:

• Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Для степенной функции $y=x^n$ (при целочисленном $n$) это означает, что $n$ — чётное число.
• Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Для степенной функции $y=x^n$ (при целочисленном $n$) это означает, что $n$ — нечётное число.
• Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что $f(x) \ge m$ для всех $x$.
• Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что $f(x) \le M$ для всех $x$.
• Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

а) (-1; 1)

Подставим координаты точки $(-1; 1)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$1 = (-1)^n$
Это равенство справедливо только в том случае, если показатель степени $n$ является чётным целым числом (например, $n = -4, -2, 0, 2, 4, \dots$).

Исследование на чётность:
Поскольку $n$ — чётное целое число, функция $y=x^n$ является чётной. Проверим по определению: $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$.

Исследование на ограниченность:
Рассмотрим различные случаи для чётного целого $n$:

• Если $n$ — положительное чётное число ($n=2, 4, \dots$), то значения функции $y=x^n$ всегда неотрицательны ($y \ge 0$). График представляет собой параболоид, симметричный относительно оси Oy. Область значений: $[0; +\infty)$. Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.
• Если $n=0$, то функция имеет вид $y = x^0 = 1$ (при $x \ne 0$). Область значений состоит из одного числа $\{1\}$. Функция ограничена и снизу, и сверху.
• Если $n$ — отрицательное чётное число ($n=-2, -4, \dots$), то $y = x^n = \frac{1}{x^{-n}}$. Поскольку $-n$ — положительное чётное число, знаменатель всегда положителен. Значит, $y > 0$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху (значения стремятся к $+\infty$ при $x \to 0$).

В общем случае для любого чётного целого $n$ функция $y=x^n$ будет ограничена снизу.
Ответ: функция является чётной и ограниченной снизу.

б) (-1; -1)

Подставим координаты точки $(-1; -1)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$-1 = (-1)^n$
Это равенство справедливо только в том случае, если показатель степени $n$ является нечётным целым числом (например, $n = -3, -1, 1, 3, 5, \dots$).

Исследование на чётность:
Поскольку $n$ — нечётное целое число, функция $y=x^n$ является нечётной. Проверим по определению: $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$.

Исследование на ограниченность:
Рассмотрим различные случаи для нечётного целого $n$:

• Если $n$ — положительное нечётное число ($n=1, 3, \dots$), то область значений функции — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
• Если $n$ — отрицательное нечётное число ($n=-1, -3, \dots$), то область значений функции — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция также не ограничена ни снизу, ни сверху.

Во всех случаях функция не является ограниченной.
Ответ: функция является нечётной и не является ограниченной.

в) (1; 1)

Подставим координаты точки $(1; 1)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$1 = 1^n$
Это равенство справедливо для любого действительного числа $n$. Это означает, что данное условие не накладывает никаких ограничений на показатель степени $n$.

Исследование на чётность:
Поскольку $n$ может быть любым числом, определить чётность функции невозможно.

• Если $n=2$ (чётное), функция $y=x^2$ чётная.
• Если $n=3$ (нечётное), функция $y=x^3$ нечётная.
• Если $n=0.5$, функция $y=x^{0.5}=\sqrt{x}$ не является ни чётной, ни нечётной (её область определения $[0; +\infty)$ несимметрична относительно нуля).

Таким образом, сделать однозначный вывод о чётности нельзя.

Исследование на ограниченность:
Аналогично, определить ограниченность функции невозможно.

• Если $n=2$, функция ограничена снизу.
• Если $n=3$, функция не ограничена.
• Если $n=0$, функция $y=x^0=1$ ограничена.
• Если $n=-2$, функция ограничена снизу.

Так как возможны разные варианты, сделать однозначный вывод об ограниченности нельзя.
Ответ: по имеющимся данным определить чётность и ограниченность функции невозможно.

г) (1; -1)

Подставим координаты точки $(1; -1)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$-1 = 1^n$
Для любого действительного числа $n$ значение выражения $1^n$ равно $1$. Таким образом, мы получаем неверное равенство:
$-1 = 1$
Это означает, что не существует степенной функции вида $y=x^n$, график которой проходит через точку $(1; -1)$. Следовательно, исследование свойств такой функции невозможно.
Ответ: степенной функции $y=x^n$, проходящей через данную точку, не существует.