Номер 12.20, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.20 а) $\begin{cases} y = x^4, \\ y = 4 - x^2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^5, \\ y = -2 + 0,5x^2; \end{cases}$

В) $\begin{cases} y = x^6, \\ y = 2 - 3x^2; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} y = x^3, \\ y = x^2 - 6. \end{cases}$

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций, приравняем выражения для y:

$y = x^4$

$y = 4 - x^2$

$x^4 = 4 - x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение:

$x^4 + x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + t - 4 = 0$

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

Корни для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Мы получили два корня:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$

Согласно условию $t \ge 0$, проверим найденные корни. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, корень $t_1 = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$ является положительным. Корень $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ является отрицательным, поэтому он не является решением для $t$.

Вернемся к переменной $x$:

$x^2 = t_1 = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$

Отсюда находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x^2$ во второе уравнение системы $y = 4 - x^2$:

$y = 4 - \frac{\sqrt{17}-1}{2} = \frac{8 - (\sqrt{17}-1)}{2} = \frac{8 - \sqrt{17} + 1}{2} = \frac{9-\sqrt{17}}{2}$

Таким образом, система имеет два решения (две точки пересечения).

Ответ: $(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}, \frac{9-\sqrt{17}}{2})$, $(-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}, \frac{9-\sqrt{17}}{2})$.

б)

Приравняем правые части уравнений системы:

$x^5 = -2 + 0,5x^2$

$x^5 - 0,5x^2 + 2 = 0$

Чтобы определить количество решений, исследуем функцию $f(x) = x^5 - 0,5x^2 + 2$. Найдем ее производную:

$f'(x) = 5x^4 - x = x(5x^3 - 1)$

Критические точки функции (где производная равна нулю): $x = 0$ и $x = \sqrt[3]{1/5}$.

Проанализируем знаки производной:

• При $x < 0$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• При $0 < x < \sqrt[3]{1/5}$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• При $x > \sqrt[3]{1/5}$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Таким образом, $x=0$ является точкой локального максимума, а $x = \sqrt[3]{1/5}$ — точкой локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(0) = 0^5 - 0,5 \cdot 0^2 + 2 = 2$

$f(\sqrt[3]{1/5}) = (\sqrt[3]{1/5})^5 - 0,5(\sqrt[3]{1/5})^2 + 2 = 2 - 0,3\sqrt[3]{1/25} > 0$

Поскольку при $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$, а в точке локального максимума $f(0)=2$, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает от $-\infty$ до $2$, пересекая ось абсцисс ровно один раз. На промежутке $[0, +\infty)$ функция сначала убывает от $2$ до положительного значения в точке минимума, а затем возрастает, оставаясь положительной. Таким образом, других корней нет.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень, а система уравнений — одно решение.

Ответ: одно решение.

в)

Приравняем правые части уравнений:

$x^6 = 2 - 3x^2$

$x^6 + 3x^2 - 2 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^3 + 3t - 2 = 0$

Исследуем функцию $f(t) = t^3 + 3t - 2$ для $t \ge 0$. Ее производная:

$f'(t) = 3t^2 + 3$

Поскольку $t^2 \ge 0$, то $f'(t) = 3t^2 + 3 \ge 3 > 0$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей для всех $t$.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Проверим значения функции в точках $t=0$ и $t=1$:

$f(0) = 0^3 + 3(0) - 2 = -2$

$f(1) = 1^3 + 3(1) - 2 = 2$

Поскольку функция непрерывна, строго возрастает и меняет знак на отрезке $[0, 1]$, она имеет ровно один корень $t_0$ на этом отрезке. Этот корень положителен.

Возвращаясь к замене $x^2 = t_0$, получаем два решения для $x$: $x = \sqrt{t_0}$ и $x = -\sqrt{t_0}$.

Следовательно, исходная система имеет два решения.

Ответ: два решения.

г)

Приравняем правые части уравнений:

$x^3 = x^2 - 6$

$x^3 - x^2 + 6 = 0$

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - x^2 + 6$. Найдем ее производную:

$f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)$

Критические точки: $x = 0$ и $x = 2/3$.

Анализ знаков производной показывает, что $x=0$ — точка локального максимума, а $x=2/3$ — точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(0) = 0^3 - 0^2 + 6 = 6$

$f(2/3) = (2/3)^3 - (2/3)^2 + 6 = 8/27 - 4/9 + 6 = 6 - 4/27 > 0$

При $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает от $-\infty$ до локального максимума $f(0)=6$. Значит, на этом промежутке есть ровно один корень. На промежутке $[0, +\infty)$ функция сначала убывает от $6$ до положительного значения в точке минимума, а затем возрастает. Таким образом, на этом промежутке корней нет.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень, а система уравнений — одно решение.

Ответ: одно решение.