Номер 12.14, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.14 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^5$:

а) на отрезке $[-1; 1]$;

б) на луче $(-\infty; 0]$;

в) на полуинтервале $(1; 3]$;

г) на луче $[-1; +\infty)$.

Для решения задачи необходимо найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^5$ на указанных промежутках. Для этого сначала исследуем функцию на монотонность.

Найдём производную функции: $y' = (x^5)' = 5x^4$.

Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, производная $y' = 5x^4$ также всегда неотрицательна ($y' \ge 0$). Производная равна нулю только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция $y = x^5$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

Зная, что функция монотонно возрастает, мы можем определить её наименьшие и наибольшие значения на заданных интервалах.

а) на отрезке [-1; 1]

Так как функция строго возрастает на отрезке $[-1; 1]$, своё наименьшее значение она принимает в левой крайней точке, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^5 = -1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^5 = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

б) на луче (-∞; 0]

На луче $(-\infty; 0]$ функция $y = x^5$ возрастает. Поскольку правая граница $x=0$ принадлежит промежутку, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = 0^5 = 0$.

Промежуток не ограничен слева. При $x \to -\infty$, значение функции $y = x^5$ также стремится к $-\infty$. Это означает, что функция не ограничена снизу, и наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 0, наименьшего значения не существует.

в) на полуинтервале (1; 3]

На данном полуинтервале функция $y = x^5$ возрастает. Правая граница $x=3$ принадлежит промежутку, поэтому в ней достигается наибольшее значение.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = 3^5 = 243$.

Левая граница $x=1$ не принадлежит промежутку (интервал открыт слева). Значения функции стремятся к $y(1) = 1^5 = 1$ при $x \to 1^+$, но никогда этого значения не достигают, так как $x > 1$. Следовательно, наименьшего значения на этом полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 243, наименьшего значения не существует.

г) на луче [-1; +∞)

На луче $[-1; +\infty)$ функция $y = x^5$ возрастает. Левая граница $x=-1$ принадлежит промежутку, поэтому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^5 = -1$.

Промежуток не ограничен справа. При $x \to +\infty$, значение функции $y = x^5$ также стремится к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху, и наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшего значения не существует.